第10章有限アーベル群の基本定理

可換な有限群は、完全に分類できる

一般の有限群の分類は途方もなく難しい（有限単純群の分類は数千ページを要した20世紀の金字塔）。ところが可換（アーベル）に限ると、状況は一変します。有限アーベル群は、巡回群の直積として完全に、一意に書き下せる。位数を決めれば、その位数のアーベル群を全部リストアップできるのです。

たとえば位数 $8$ のアーベル群は $\mathbb Z_8$ 、 $\mathbb Z_4\times\mathbb Z_2$ 、 $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ のちょうど3種類。この完全な分類定理は、それ自体美しいだけでなく、線形代数のジョルダン標準形や加群論の構造定理と同じ定理の一つの顔であることが分かります。バラバラに見えた分類が、一つの原理（PID 上の加群の構造定理）に統一される——その入り口です。

有限アーベル群は巡回群の直積に一意分解される。位数を決めれば全部列挙できる。加群論・線形代数と同根。

直積と直和

定義アーベル群の直積

アーベル群 $A_1,\dots,A_k$ の直積 $A_1\times\cdots\times A_k$ は、成分ごとの演算をもつ群。加法的に直和 $A_1\oplus\cdots\oplus A_k$ とも書く。 $|A_1\times\cdots\times A_k|=\prod|A_i|$ 。

分解の第一段は、群を素数ごとの部分に割ること。整数の素因数分解に対応します。

定理準素分解

有限アーベル群 $A$ （ $|A|=p_1^{n_1}\cdots p_r^{n_r}$ ）は、その $p$ -シロー部分群 $A_{p_i}=\{a\in A:p_i^{n_i}a=0\}$ の直和に一意分解される： $A=A_{p_1}\oplus\cdots\oplus A_{p_r}$ 。

証明

アーベル群では全部分群が正規で、位数の互いに素な部分群 $A_{p_i}$ は交わりが $\{0\}$ 、和が $A$ （中国剰余定理に相当）。各 $a\in A$ について、 $p_i^{n_i}$ を法とした係数で $a=\sum a_{p_i}$ （ $a_{p_i}\in A_{p_i}$ ）と一意に分解できる。∎

これで問題は「 $p$ 群（位数が $p$ べきのアーベル群）の分類」に帰着します。

基本定理：2つの標準形

定理有限アーベル群の基本定理

任意の有限アーベル群 $A$ は、次の2通りの標準形で巡回群の直積に一意分解される：

（初等因子形）素数べき位数の巡回群の直積 $A\cong \bigoplus_{i} \mathbb Z_{p_i^{e_i}}\quad(\text{素数べき}\ p_i^{e_i}\ \text{の重複を込めて一意}).$ （不変因子形） $d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_k$ となる整数を用いて $A\cong \mathbb Z_{d_1}\times\mathbb Z_{d_2}\times\cdots\times\mathbb Z_{d_k}\quad(d_1\mid\cdots\mid d_k\ \text{は一意}).$

証明

（存在の要点。）準素分解で $p$ 群に帰着。 $p$ 群 $A$ については、最大位数の元 $a_1$ をとると $\langle a_1\rangle$ が直和因子として分離でき（ $A=\langle a_1\rangle\oplus A'$ ）、 $A'$ に帰納法を適用して巡回群の直和 $\bigoplus\mathbb Z_{p^{e_i}}$ を得る。初等因子をまとめ直すと不変因子形になる。一意性は、各 $p$ と各べき $k$ について「位数 $p^k$ 以上の元が張る部分の $\dim$ （ $\bmod\,p$ 次元）」が同型不変量として初等因子を復元することから従う。∎

2つの標準形は同じ群の別表現で、初等因子を「各素数のべきを大きさ順にまとめて掛ける」と不変因子に変換できます。

例位数 8 と位数 360 の分類

位数 $8=2^3$ ：初等因子形は $\mathbb Z_8$ ／ $\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_2$ ／ $\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2$ の3通り（ $2^3$ の分割 $3,\,2{+}1,\,1{+}1{+}1$ に対応）。 位数 $360=2^3\cdot3^2\cdot5$ ： $2$ 部分が3通り、 $3$ 部分（ $3^2$ ）が $\mathbb Z_9$ ／ $\mathbb Z_3\oplus\mathbb Z_3$ の2通り、 $5$ 部分が1通り。計 $3\times2\times1=6$ 種類。各素数べきの分割の個数の積がアーベル群の総数。

「位数 $n$ のアーベル群は何種類か」が、 $n$ の各素因数のべきの分割数の積で即座に分かる。分類が組合せの問題（自然数の分割）に完全に翻訳されるのです。

加群論・線形代数との統一

注意同じ定理の3つの顔

基本定理は、実はPID 上有限生成加群の構造定理（加群論）の特別な場合。アーベル群は $\mathbb Z$ 加群にほかならず、有限アーベル群＝ $\mathbb Z$ 上のねじれ加群。「単因子」「初等因子」という用語は加群論と共通。

同じ構造定理を体 $K$ 上の多項式環 $K[x]$ に適用すると——線形変換のついたベクトル空間（ $K[x]$ 加群）の分類、すなわちジョルダン標準形・有理標準形になる。有限アーベル群の分類とジョルダン標準形は、 $\mathbb Z$ と $K[x]$ という2つの PID における同じ構造定理の二つの顔。バラバラに学んだ分類が一本の糸で繋がる。

この統一は抽象代数の醍醐味です。「なぜアーベル群とジョルダン標準形が似ているのか」——それは同じ定理だから。一段抽象化する（加群として見る）と、別々の現象が一つの原理に収まります。

つまずきポイント

注意よくある誤解

初等因子形と不変因子形は同じ群の別表示。 $\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_3$ （不変因子 $d_1=12$ ） $=\mathbb Z_{12}$ 。 $\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_2$ は不変因子 $2\mid4$ でまとめる（ $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4$ ）。互いに変換できる。
$\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n\cong\mathbb Z_{mn}\iff\gcd(m,n)=1$ （中国剰余定理）。互いに素でないと巡回にならない（ $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\ne\mathbb Z_4$ ）。
基本定理は有限（またはねじれ有限生成）アーベル群の話。 一般の無限アーベル群（ $\mathbb Q$ など）はこの形に分解できない。

この章のまとめ

有限アーベル群は準素分解で $p$ 群の直和に、さらに巡回群の直積に一意分解される（基本定理）。初等因子形（素数べき巡回群）と不変因子形（ $d_1\mid\cdots\mid d_k$ ）の2標準形。
位数 $n$ のアーベル群の個数は、各素因数べきの分割数の積。分類が自然数の分割に翻訳される。
これは PID 上の加群の構造定理の特殊例で、 $\mathbb Z$ 上ならアーベル群分類、 $K[x]$ 上ならジョルダン標準形——同じ定理の二つの顔。

次章は、群を「単純な部品」に分解する視点——**可解群・べき零群と組成列（ジョルダン–ヘルダー）**へ進みます。

第10章 有限アーベル群の基本定理