第11章可解群とべき零群

群を「単純な部品」に分解する

物質を原子に分解するように、群をそれ以上分解できない部品に分解できないか。前章のアーベル群は巡回群という部品にきれいに分かれました。一般の群では、正規部分群で次々に割っていき、各段の剰余群が単純群（第9章の $A_5$ のような、これ以上割れない群）になるまで分解します。これが組成列です。

そして分解の“素性”によって群を分類します。各部品がすべて可換（アーベル）で済むなら可解群—— 方程式がべき根で解けることに対応する、特別に扱いやすいクラスです。さらに強い条件を満たすのがべき零群。この章では、これらの分解の理論を整え、ジョルダン–ヘルダーの定理（分解が本質的に一意）を証明します。ガロア理論で「方程式が解けるか」を判定する言葉が、ここで用意されます。

群を正規部分群で分解し、各剰余が可換なら可解群。分解の部品（組成因子）は本質的に一意（ジョルダン–ヘルダー）。

交換子群と可解群

群がどれだけ「非可換か」を測るのが交換子です。

定義交換子・交換子群・導来列

$[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$ を交換子という（ $ab=ba\iff[a,b]=e$ ）。交換子すべてで生成される部分群 $G'=[G,G]$ を交換子群（導来部分群）という。 $G'\trianglelefteq G$ で、 $G/G'$ は最大の可換剰余群 （アーベル化）。導来列を $G^{(0)}=G,\ G^{(k+1)}=[G^{(k)},G^{(k)}]$ で定める。

$G'$ は「非可換性の源」を集めた部分群で、それで割ると可換になります（ $G/G'$ がアーベルなのは、交換子が $G'$ でつぶれるから）。導来列は「非可換性を繰り返し剥ぎ取る」操作です。

定義可解群

導来列がいつか自明群に達する（ある $n$ で $G^{(n)}=\{e\}$ ）とき、 $G$ を可解群という。同値： $\{e\}=G_0\trianglelefteq G_1\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq G_n=G$ で各剰余 $G_{i+1}/G_i$ がアーベルとなる列がある。

「非可換性を有限回で剥ぎ取れる」群が可解群。アーベル群は $G'=\{e\}$ なので当然可解。可解性は部分群・剰余群・拡大で保たれます（次の命題）。

命題可解性の遺伝

$G$ が可解 $\iff$ 正規部分群 $N$ とその剰余群 $G/N$ がともに可解。部分群も可解。

例可解な群・可解でない群

$S_3,S_4$ は可解（ $S_4\trianglerighteq A_4\trianglerighteq V_4\trianglerighteq\{e\}$ 、各剰余が $\mathbb Z_2,\mathbb Z_3,\mathbb Z_2,\mathbb Z_2$ でアーベル）。
$S_n,A_n$ （ $n\ge5$ ）は可解でない： $A_n$ が非可換単純（第9章）ゆえ $A_n'=A_n$ 、導来列が縮まない。
有限 $p$ 群はすべて可解（次のべき零性から）。

「 $S_5$ が可解でない」——第9章の $A_5$ の単純性がここで効き、ガロア理論を通じて 5次方程式の解の公式の不存在につながります。可解群は「べき根で解ける方程式」の群論的な正体なのです。

べき零群

可解性より強い条件が、べき零性です。中心を繰り返し剥ぐ操作で測ります。

定義降中心列・べき零群

降中心列を $\gamma_1(G)=G,\ \gamma_{k+1}(G)=[G,\gamma_k(G)]$ で定める。ある $n$ で $\gamma_{n+1}(G)=\{e\}$ となるとき $G$ をべき零群という。べき零 $\Rightarrow$ 可解。

定理有限 p 群はべき零

位数 $p^n$ の群はべき零。したがって可解。

証明

第6章より $p$ 群の中心 $Z(G)$ は非自明。 $G/Z(G)$ もより小さい $p$ 群なのでその中心も非自明…と中心を次々に剥いでいくと（上中心列 $\{e\}\subsetneq Z_1\subsetneq Z_2\subsetneq\cdots$ が真に増加し）有限回で $G$ に達する。これはべき零性と同値。∎

$p$ 群のべき零性は、その豊かな構造（正規部分群が多い、極大部分群が正規で指数 $p$ 、など）の源です。「 $p$ 群の中心が非自明」（類等式の帰結）が、ここでも効いています。べき零群は「 $p$ 群の直積」に近い、特に行儀の良いクラスです。

組成列とジョルダン–ヘルダーの定理

群を「これ以上割れない部品」まで分解する標準的な列を定めます。

定義組成列・組成因子

$\{e\}=G_0\trianglelefteq G_1\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq G_n=G$ で、各剰余 $G_{i+1}/G_i$ が単純群（自明でない正規部分群なし）であるものを組成列、剰余 $G_{i+1}/G_i$ を組成因子という。有限群には必ず組成列がある。

組成因子が「群を構成する原子（単純群）」です。分解の仕方（列の取り方）は一通りではありませんが——

定理ジョルダン–ヘルダーの定理

有限群の任意の2つの組成列は、長さが等しく、組成因子の多重集合が（順序と同型を除いて）一致する。

証明

（要点。）2つの組成列の長さに関する帰納法。第二同型定理（第5章）を使うシュライアーの細分定理 ——「任意の2つの（正規部分群による）列は、同型な細分をもつ」——を示し、組成列は既にこれ以上細分できないので、 2つの組成列は互いに同型な並べ替えになる、と結論する。∎

ジョルダン–ヘルダーは「群の素因数分解の一意性」に相当します。整数が素数の積に一意分解されるように、有限群は組成因子（単純群）に一意分解される。だからこそ有限単純群の分類が「すべての有限群を理解する」ための基礎工事になったのです（それが20世紀の巨大プロジェクトでした）。可解群は、この言葉で特徴づけられます。

系可解群の特徴づけ

有限群 $G$ が可解 $\iff$ その組成因子がすべて素数位数の巡回群 $\mathbb Z_p$ 。

「組成因子がすべて $\mathbb Z_p$ （可換な単純群）」が可解、「組成因子に非可換単純群（ $A_5$ など）が現れる」が非可解。 $S_5$ は組成因子に $A_5$ を含むので可解でない——第9章と第11章がここで結ばれます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

可解 ⊋ べき零 ⊋ アーベル。 アーベル ⇒ べき零 ⇒ 可解だが、逆は成り立たない（ $S_3$ は可解だがべき零でない）。 $p$ 群はべき零。
組成因子は単純群。 剰余が単純になるまで分解する。組成因子の一意性（ジョルダン–ヘルダー）は「群の素因数分解」。
可解性は「べき根で解ける」に対応（ガロア）。 群論的な可解性が、方程式論の可解性の正体。 $A_5$ の単純性＝非可解性が5次方程式の壁。

この章のまとめ

交換子群 $G'=[G,G]$ で割ると最大の可換剰余（アーベル化）。導来列が自明群に達する群が可解群（同値：アーベル剰余の正規列をもつ）。部分群・剰余・拡大で保たれる。
降中心列が自明群に達する群がべき零群（アーベル ⇒ べき零 ⇒ 可解）。有限 $p$ 群はべき零（中心の非自明性から）。
組成列は群を単純群（組成因子）に分解し、ジョルダン–ヘルダーで組成因子は一意（群の素因数分解）。可解 $\iff$ 組成因子がすべて $\mathbb Z_p$ 。 $A_5$ を含む $S_5$ は非可解。

最終章は、群を組み立てる操作——直積・半直積と、生成元と関係式による群の表示を扱います。

第11章 可解群とべき零群