⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第14章 公理的集合論 ZFC

すべての数学を、集合の上に建てる

現代数学のほとんどは「集合」で書けます。自然数も、実数も、関数も、空間も、突き詰めれば集合。 だとすれば、集合そのもののルールを厳密に定めれば、数学全体に共通の土台が得られます。

ところが「集合とは、条件を満たすものの集まり」という素朴な定義は、破綻します。ラッセルが示した通り、 「自分自身を要素に含まない集合すべての集合」を考えると矛盾する。土台にひびが入っては元も子もない。 そこで、どんな集まりを集合として認めるかを公理で慎重に制限したのが ZFC（ツェルメロ–フレンケル＋選択公理）です。 この章は ZFC の公理を動機とともに並べ、そこから順序数・基数という「無限の目盛り」を組み立てます。 これが第1章で触れた濃度論の、公理的な足場になります。

素朴集合論はラッセルのパラドックスで破綻する。ZFC は「認めてよい集合」を公理で制限した数学の土台。

ラッセルのパラドックス

定理 ラッセルのパラドックス

「任意の性質 P(x)P(x) に対し {x:P(x)}\{x:P(x)\} が集合である」（無制限内包）を認めると矛盾する。

証明

R={x:x∉x}R=\{x: x\notin x\}（自分自身を要素にもたない集合すべて）を考える。R∈RR\in R か？ R∈RR\in R なら定義より R∉RR\notin R。R∉RR\notin R なら定義より R∈RR\in R。どちらでも矛盾。∎

またしても自己言及＋否定（前2章と同型）です。教訓は「どんな集まりも集合、とはできない」。 ZFC の解決策は、既にある集合から新しい集合を作る操作だけを許すこと。{x:P(x)}\{x:P(x)\} を無条件には作らず、 「既存の集合 AA の中で PP を満たすもの {x∈A:P(x)}\{x\in A:P(x)\}」だけを許す（分出公理）。これでラッセルの RR は作れません。

ZFC の公理

言語は {∈}\{\in\}（帰属関係）ただ一つ。すべては「集合が集合を要素にもつ」だけで書きます。

定義 ZFC 公理系

（外延性）同じ要素をもつ集合は等しい。（空集合）∅\emptyset が存在。（対）a,ba,b から {a,b}\{a,b\}。 （和集合）⋃A\bigcup A が存在。（べき集合）P(A)\mathcal P(A) が存在。 （無限）∅∈I\emptyset\in I かつ x∈I⇒x∪{x}∈Ix\in I\Rightarrow x\cup\{x\}\in I なる無限集合 II が存在。 （分出・図式）{x∈A:φ(x)}\{x\in A:\varphi(x)\} が存在。（置換・図式）関数的 φ\varphi による像 {φ(x):x∈A}\{\varphi(x):x\in A\} が集合。 （基礎・正則性）空でない集合は ∈\in-極小元をもつ（∈\in の無限降下鎖・自己帰属を禁止）。 （選択）空でない集合の族に選択関数が存在。

各公理は「必要な集合を作る」ための道具です。外延性が集合の同一性を（要素だけで）決め、対・和・べき集合・置換が 新しい集合を生み、無限公理が N\mathbb N を可能にし（∅,{∅},{∅,{∅}},…\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\dots）、 基礎公理が x∈xx\in x のような病的な集合を排除して、集合の宇宙を階層 V=⋃αVαV=\bigcup_\alpha V_\alpha（累積階層）に整えます。 分出・置換は図式（各論理式 φ\varphi ごとに1つ）なので、ZFC は無限個の公理からなります——第13章の 「帰納的公理化」に収まり、だから ZFC も不完全性を免れません。

順序数

「無限番目」を数える目盛りが順序数です。ノイマンの定義は鮮やかで、順序数を自分より小さい順序数全体の集合とします。

定義 順序数

∈\in で整列され、かつ推移的（要素の要素も要素）な集合を順序数という。 0=∅, 1={0}, 2={0,1},…, n={0,1,…,n−1}0=\emptyset,\ 1=\{0\},\ 2=\{0,1\},\dots,\ n=\{0,1,\dots,n-1\}、そして最初の無限順序数 ω={0,1,2,… }=N\omega=\{0,1,2,\dots\}=\mathbb N。 その後 ω+1=ω∪{ω}, ω+2,…, ω⋅2,…, ω2,…, ε0,…\omega+1=\omega\cup\{\omega\},\ \omega+2,\dots,\ \omega\cdot2,\dots,\ \omega^2,\dots,\ \varepsilon_0,\dots と続く。

順序数の要点は「α<β  ⟺  α∈β\alpha<\beta\iff\alpha\in\beta」で、順序数全体が ∈\in で整列されること（どの空でない集まりにも最小元）。 これが自然数の数学的帰納法を無限へ延長します。

定理 超限帰納法・超限再帰

順序数上の性質 PP について「すべての β<α\beta<\alpha で P(β)P(\beta) なら P(α)P(\alpha)」が全 α\alpha で成り立てば、PP は全順序数で成り立つ （超限帰納法）。同様に、より小さい順序数での値から値を定める再帰で、順序数上の関数を定義できる（超限再帰）。

第13章のゲンツェンが使った「ε0\varepsilon_0 までの超限帰納法」は、まさにこれの α<ε0\alpha<\varepsilon_0 版でした。 順序数は、後続順序数（α+1\alpha+1）と、極限順序数（ω,ω⋅2,…\omega,\omega\cdot2,\dots）に分かれ、それぞれで帰納法のステップが違います。

基数と濃度算術

順序数は「並べ方の型」を測りますが、第1章の濃度（大きさ）を測るには基数を使います。

定義 基数・アレフ

どの小さい順序数とも濃度が等しくない順序数を基数という（各集合の濃度＝それと対等な最小の順序数、AC のもとで定まる）。 無限基数を ℵ0<ℵ1<ℵ2<⋯<ℵω<…\aleph_0<\aleph_1<\aleph_2<\dots<\aleph_\omega<\dots と並べる。ℵ0=∣N∣\aleph_0=|\mathbb N|、ℵ1\aleph_1 は最小の非可算基数。

定理 無限基数の算術

無限基数 κ,λ\kappa,\lambda（少なくとも一方が無限、κ≥λ\kappa\ge\lambda）について κ+λ=κ⋅λ=κ=max⁡(κ,λ).\kappa+\lambda=\kappa\cdot\lambda=\kappa=\max(\kappa,\lambda). 一方、べき乗は非自明で 2κ>κ2^\kappa>\kappa（カントール）。

無限では足し算・掛け算が大きい方に吸収されて潰れます（ℵ0+ℵ0=ℵ0\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0、ℵ0⋅ℵ0=ℵ0\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0—— 第1章の「可算×可算＝可算」）。面白さはすべてべき乗 2κ2^\kappa に集まります。2ℵ02^{\aleph_0}（連続体濃度、R\mathbb R の濃度）が ℵ1\aleph_1 なのか ℵ2\aleph_2 なのか…——これが連続体仮説で、次章の主題です。ここで共終数 cf(κ)\mathrm{cf}(\kappa) （κ\kappa に届く最短の増加列の長さ）が効き、ケーニヒの定理 κ<κcf(κ)\kappa<\kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)} が 2ℵ0≠ℵω2^{\aleph_0}\ne\aleph_\omega 等を縛ります。

選択公理の帰結

集合と位相 第2章で見た選択公理（AC）は、集合論では基数論の前提として働きます。

定理 AC の主要帰結

AC は次と同値：整列可能定理（任意の集合は整列できる）、ツォルンの補題。帰結として—— 任意の集合に基数（濃度）が定まる（どの集合も適当な ℵα\aleph_\alpha と対等）、任意の2集合の濃度は比較可能（三分律）、 ベクトル空間に基底が存在（線形代数）、体に代数閉包が存在、など。

AC なしでは「濃度で大小が付かない集合」がありえます。整列可能定理が「どんな集合も ℵ\aleph のどれかと対等」を保証して初めて、 基数の理論がきれいに回る。一方 AC は非構成的で、バナッハ–タルスキーの逆説のような直感に反する帰結も生む—— その光と影が、次章の独立性と、AC を否定する決定性公理（AD）への伏線になります。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • ZFC は「集合とは何か」を定義しない。 ∈\in の振る舞いを公理で規定するだけ。「集合」は無定義語で、公理を満たすものが集合。
  • 順序数と基数は別。 順序数は「並べ方の型」、基数は「大きさ」。ω,ω+1,ω⋅2\omega,\omega+1,\omega\cdot2 はすべて濃度 ℵ0\aleph_0（順序型は違うが同じ大きさ）。
  • 無限の足し算・掛け算は潰れる。 非自明なのはべき乗だけ。ℵ0+ℵ0=ℵ0\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0 だが 2ℵ0>ℵ02^{\aleph_0}>\aleph_0。
  • ZFC も不完全。 分出・置換は無限個の公理図式だが帰納的公理化なので、第13章より ZFC は自分の無矛盾性を証明できず、決定不能命題をもつ。

この章のまとめ

  • 素朴集合論はラッセルのパラドックス（自己言及＋否定）で破綻。ZFC は「既存の集合から作る操作」だけを公理で許し、累積階層 VV を築く。
  • 順序数（∈\in で整列・推移的な集合）が無限の番号を与え、超限帰納法・再帰を可能にする。**基数（アレフ）**が濃度を測り、無限では和・積は潰れ、べき乗 2κ2^\kappa だけが非自明。
  • 選択公理は整列可能定理・ツォルンと同値で、「任意の集合に濃度が定まる」を保証。基数論の前提だが非構成的な帰結ももつ。

次章は、ZFC でも決められない問題——連続体仮説の独立性を、構成可能集合 L と強制法で扱います。