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第12章 解法 — 変数分離・フーリエ・グリーン関数

PDEを、単純な波の重ね合わせに分解する

前章までで、波動・熱・ラプラス方程式の性格を見ました。この最終章では、これらを実際に解く一般的技法を 整えます。中心となる発想は、線形性——線形PDEでは解を重ね合わせられるので、 方程式を単純な解（波）に分解し、それを重ね合わせて任意の初期条件に合わせる。

有限区間（弦、棒）では変数分離でフーリエ級数、無限区間ではフーリエ変換、そして任意の外力・境界には グリーン関数（点源への応答を重ね合わせる）。これらはすべて「複雑な入力を単純な部品に分解し、各部品への 応答を足す」という線形性の思想の現れです。ここでフーリエ解析（波の分解）が全面的に効き、 微分方程式論が締めくくられます。「どんな波も単純な正弦波の和」というフーリエの洞察が、PDEを解く鍵になります。

線形PDEは単純な解の重ね合わせで解く：変数分離（フーリエ級数）、フーリエ変換、グリーン関数（点源の応答）。

変数分離とフーリエ級数

有限区間の熱・波動方程式を解く古典的技法。解を「空間の関数 × 時間の関数」の積と仮定します。

定理 変数分離法（熱方程式の例）

区間 [0,L][0,L] の熱方程式 ut=kuxxu_t=ku_{xx}、境界条件 u(0,t)=u(L,t)=0u(0,t)=u(L,t)=0、初期条件 u(x,0)=u0(x)u(x,0)=u_0(x) を考える。 u(x,t)=X(x)T(t)u(x,t)=X(x)T(t) と仮定すると、方程式は T′kT=X′′X=−λ\dfrac{T'}{kT}=\dfrac{X''}{X}=-\lambda（定数）に分離され、 Xn(x)=sin⁡nπxL,Tn(t)=e−k(nπ/L)2t(n=1,2,… ).X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}L,\qquad T_n(t)=e^{-k(n\pi/L)^2t}\qquad(n=1,2,\dots). 一般解は重ね合わせ u(x,t)=∑n=1∞bnsin⁡nπxL e−k(nπ/L)2t,bn=2L∫0Lu0(x)sin⁡nπxL dx.u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}L\,e^{-k(n\pi/L)^2t},\qquad b_n=\frac2L\int_0^L u_0(x)\sin\frac{n\pi x}L\,dx.

証明

X(x)T(t)X(x)T(t) を代入し XT′=kX′′TXT'=kX''T、両辺を kXTkXT で割ると左辺は tt だけ・右辺は xx だけの関数ゆえ定数 −λ-\lambda。 X′′+λX=0X''+\lambda X=0、境界条件 X(0)=X(L)=0X(0)=X(L)=0 から固有値 λn=(nπ/L)2\lambda_n=(n\pi/L)^2、固有関数 sin⁡nπxL\sin\frac{n\pi x}L （線形代数の固有値問題の無限次元版）。T′=−kλTT'=-k\lambda T より Tn=e−kλntT_n=e^{-k\lambda_nt}。線形性で重ね合わせ、初期条件 u0(x)=∑bnsin⁡nπxLu_0(x)=\sum b_n\sin\frac{n\pi x}L は u0u_0 のフーリエ正弦級数（フーリエ解析）で係数 bnb_n が定まる。∎

変数分離の心は「X′′/X=T′/(kT)X''/X=T'/(kT) の左辺は xx だけ、右辺は tt だけ→両方定数」という論法。すると空間部分が 固有値問題 X′′+λX=0X''+\lambda X=0 になり、その固有関数 sin⁡nπxL\sin\frac{n\pi x}L が「基本モード」。任意の初期条件は、これらの モードのフーリエ級数で表され、各モードが独立に e−kλnte^{-k\lambda_nt} で減衰する。高い振動数（大きい nn）ほど速く減衰—— だから熱方程式は平滑化する（前章）。フーリエ解析と固有値問題が、PDEの解法として結実します。

フーリエ変換

無限区間（境界のない全空間）では、離散的なフーリエ級数の代わりに連続的なフーリエ変換を使います。

注意 フーリエ変換による解法

フーリエ変換 u^(ξ,t)=∫u(x,t)e−iξxdx\hat u(\xi,t)=\int u(x,t)e^{-i\xi x}dx は微分を掛け算に変える（ux^=iξu^\widehat{u_x}=i\xi\hat u、フーリエ解析）。 熱方程式 ut=kuxxu_t=ku_{xx} は変換すると u^t=−kξ2u^\hat u_t=-k\xi^2\hat u——各 ξ\xi についてただのODE！ 解 u^=u^0 e−kξ2t\hat u=\hat u_0\,e^{-k\xi^2t} を 逆変換すると、前章の熱核との畳み込みが得られる（e−kξ2te^{-k\xi^2t} の逆変換がガウス核）。 「PDEをフーリエ変換でODEに落とし、解いて逆変換」——これが無限区間の標準技法。

フーリエ変換が「微分 → 掛け算」に変えるおかげで、PDEが各振動数ごとの独立なODEに分解される。これは変数分離の 連続版です。複素解析の留数計算が、逆変換の積分計算で活躍します。

グリーン関数

任意の外力・境界条件に対する統一的な解法が、グリーン関数です。「点源への応答」を求め、それを重ね合わせます。

定義 グリーン関数

線形微分作用素 LL に対し、点源（デルタ関数）への応答 LG(x,y)=δ(x−y)LG(x,y)=\delta(x-y) を満たす GG をグリーン関数という （境界条件込み）。すると外力 ff に対する Lu=fLu=f の解は、重ね合わせ u(x)=∫G(x,y) f(y) dy.u(x)=\int G(x,y)\,f(y)\,dy.

グリーン関数の思想は「任意の外力を、点源の重ね合わせ f(x)=∫δ(x−y)f(y)dyf(x)=\int\delta(x-y)f(y)dy とみなし、各点源への応答 G(x,y)G(x,y) を 足す」。線形性（重ね合わせ）の究極の形です。前章の熱核は熱方程式のグリーン関数、 ラプラス方程式のグリーン関数はポテンシャル論（複素解析・発展的PDE）の中心。 微積分のディラックのデルタ・畳み込み、フーリエ解析の畳み込み定理が、ここで一つに まとまります。

注意 重ね合わせの思想

変数分離（固有関数で分解）、フーリエ変換（振動数で分解）、グリーン関数（点源で分解）——3つとも「複雑な入力を 単純な部品に分解し、各部品への応答を線形性で足す」という同じ思想。線形PDEを解くとは、適切な“基底”（正弦波・ 複素指数・デルタ関数）を選んで分解・重ね合わせること。線形代数の基底・フーリエ解析・ 関数解析（無限次元の固有値問題）が、この視点で統一される。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 変数分離は線形＋分離可能な境界で。 u=X(x)T(t)u=X(x)T(t) が使えるのは線形PDE＋適合する境界条件のとき。固有関数（sin⁡nπxL\sin\frac{n\pi x}L）が空間の「基底」。
  • フーリエ変換は微分を掛け算に。 ux^=iξu^\widehat{u_x}=i\xi\hat u。PDEを各振動数のODEに分解。無限区間で有効。
  • グリーン関数＝点源への応答。 任意の外力は点源の重ね合わせ、解は ∫Gf\int Gf。熱核はその一例。
  • 3技法とも「分解して重ね合わせる」線形性の思想。 正弦波・複素指数・デルタ関数という部品の違い。非線形PDEには使えない。

この章のまとめ

  • 変数分離 u=X(x)T(t)u=X(x)T(t)：空間部分が固有値問題（sin⁡nπxL\sin\frac{n\pi x}L）、初期条件をフーリエ級数で表す。各モードが独立に減衰/振動。
  • フーリエ変換は微分を掛け算に変え、PDEを各振動数のODEに落とす（無限区間）。逆変換が熱核等を与える。
  • グリーン関数は点源への応答 LG=δLG=\delta。任意の外力は u=∫Gfu=\int Gf で解ける。3技法とも「単純な部品に分解し線形性で重ね合わせる」思想で、フーリエ解析・関数解析へ繋がる。

これで微分方程式は完結です。「変化の法則から未来を復元する」——初等解法・存在と一意性・線形理論・定性理論・ そして偏微分方程式まで辿りました。ここで培った線形性・固有値・安定性・重ね合わせの視点は、フーリエ解析・ 関数解析・発展的な偏微分方程式・力学系へと受け継がれていきます。おつかれさまでした。