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第12章 測度の微分 — ラドン–ニコディムとルベーグ分解

「密度」を測度論の言葉にする

物理で「質量＝密度×体積」と書くとき、密度 ρ(x)\rho(x) は「体積という測度に対する、質量という測度の“比”」です。 確率で「確率＝確率密度関数の積分」と書くのも同じ構図。どちらも、一つの測度をもう一つの測度と密度関数で

ν(A)=∫Aρ dμ\nu(A)=\int_A \rho\,d\mu

と表しています。ここで根本的な問いが立ちます——どんなときに、測度 ν\nu をこの形（μ\mu に対する密度 ρ\rho）で 書けるのか。書けるための条件は何か。密度 ρ\rho は一意か。これに完全な答えを与えるのがラドン–ニコディムの 定理で、測度論における「微分」——ρ=dνdμ\rho=\frac{d\nu}{d\mu}——を確立します。この分野の総仕上げです。

問い：測度 ν\nu を「密度 ρ\rho × 測度 μ\mu」で書けるのはいつか。答えがラドン–ニコディムの定理、ρ\rho が測度の微分。

二つの測度の関係：絶対連続と特異

密度で書けるかどうかを判定する語彙を用意します。二つの極端な関係——「べったり従う」と「まったく別の場所に 乗る」——を定義します。

定義 絶対連続・特異

同じ可測空間上の測度 μ,ν\mu,\nu について、

  • ν\nu が μ\mu に絶対連続（ν≪μ\nu\ll\mu）とは、μ(A)=0⇒ν(A)=0\mu(A)=0\Rightarrow\nu(A)=0。 「μ\mu が無視する集合を ν\nu も無視する」。
  • μ,ν\mu,\nu が互いに特異（μ⊥ν\mu\perp\nu）とは、ある可測集合 EE で μ(Ec)=0\mu(E^c)=0 かつ ν(E)=0\nu(E)=0。 「二つの測度が、互いに交わらない場所に乗っている」。

密度で書けた ν(A)=∫Aρ dμ\nu(A)=\int_A\rho\,d\mu を見れば、μ(A)=0\mu(A)=0 なら積分も 00 で ν(A)=0\nu(A)=0。つまり 密度で書けるなら必ず絶対連続。ラドン–ニコディムは、この逆——絶対連続なら密度が存在する——を主張します。

例 三つの手触り

  • 絶対連続：ν(A)=∫Ax2 dx\nu(A)=\int_A x^2\,dx は μ=\mu= ルベーグ測度に絶対連続（密度 x2x^2）。
  • 特異：ディラック測度 δ0\delta_0（点 00 に質量 1）はルベーグ測度と特異。E={0}E=\{0\} が μ(E)=0, δ0(Ec)=0\mu(E)=0,\ \delta_0(E^c)=0。 点質量は「長さ 00 の場所」に全部乗っている。
  • どちらでもない混合：ν=δ0+(密度つき部分)\nu=\delta_0+(\text{密度つき部分})。連続な広がりと点質量の和。これを分けるのが ルベーグ分解（後述）。

ラドン–ニコディムの定理

定理 ラドン–ニコディムの定理

μ,ν\mu,\nu をσ-有限測度とし、ν≪μ\nu\ll\mu（絶対連続）とする。すると非負可測関数 ρ\rho が存在して

ν(A)=∫Aρ dμ(∀A 可測).\nu(A)=\int_A \rho\,d\mu\qquad(\forall A\ \text{可測}).

ρ\rho は μ\mu-a.e. で一意。この ρ\rho をラドン–ニコディム微分 dνdμ\dfrac{d\nu}{d\mu} と書く。

存在証明の道筋は何通りかありますが、ヒルベルト空間 L2L^2 の力を借りるフォン・ノイマンの証明が鮮やかです。 前章で作った L2L^2 の完備性（リース–フィッシャー）と直交射影が、ここで実を結びます。

証明

有限測度の場合を述べる（σ-有限へは分割して貼り合わせる）。λ=μ+ν\lambda=\mu+\nu とおく。 汎関数 T(f)=∫f dνT(f)=\int f\,d\nu は L2(λ)L^2(\lambda) 上で有界線形（コーシー–シュワルツで ∣T(f)∣≤ν(X)1/2∥f∥L2(λ)|T(f)|\le\nu(X)^{1/2}\|f\|_{L^2(\lambda)}）。 リースの表現定理（ヒルベルト空間の有界線形汎関数は内積で書ける）より、ある g∈L2(λ)g\in L^2(\lambda) で ∫f dν=∫fg dλ=∫fg dμ+∫fg dν\int f\,d\nu=\int f g\,d\lambda=\int fg\,d\mu+\int fg\,d\nu が全 ff で成り立つ。整理すると ∫f(1−g) dν=∫fg dμ\int f(1-g)\,d\nu=\int fg\,d\mu。ここから 0≤g<10\le g<1 が λ\lambda-a.e.（ν≪μ\nu\ll\mu を使う）と分かり、 ρ=g1−g\rho=\dfrac{g}{1-g} とおくと、f=1A/(1−g)f=\mathbf{1}_A/(1-g) 型の代入と単調収束定理で ν(A)=∫Aρ dμ\nu(A)=\int_A\rho\,d\mu を得る。

一意性：∫Aρ1 dμ=∫Aρ2 dμ\int_A\rho_1\,d\mu=\int_A\rho_2\,d\mu が全 AA で成り立てば、{ρ1>ρ2}\{\rho_1>\rho_2\} 上で積分を比べて μ({ρ1>ρ2})=0\mu(\{\rho_1>\rho_2\})=0、対称に逆も。ゆえに ρ1=ρ2\rho_1=\rho_2 μ\mu-a.e.。∎

証明の心臓は「L2L^2 上の有界線形汎関数を内積で表す（リースの表現定理）」——これは**L2L^2 が完備な内積空間 （ヒルベルト空間）だからこそ使える**道具です。前章の完備性がなければこの証明は立ちません。測度論の各章が 最後に一本へ収束していく様子が見えます。

注意 微分らしさ：連鎖律

dνdμ\dfrac{d\nu}{d\mu} は記号だけでなく本当に「微分」らしくふるまう。λ≪μ≪ρ\lambda\ll\mu\ll\rho なら連鎖律 dλdρ=dλdμdμdρ\dfrac{d\lambda}{d\rho}=\dfrac{d\lambda}{d\mu}\dfrac{d\mu}{d\rho}（a.e.）が成り立ち、ν≪μ≪ν\nu\ll\mu\ll\nu なら dνdμ=(dμdν)−1\dfrac{d\nu}{d\mu}=\big(\dfrac{d\mu}{d\nu}\big)^{-1}。ライプニッツ記法がそのまま計算できるのは偶然ではない。

ルベーグの分解定理

絶対連続でない測度も、絶対連続な部分と特異な部分にきれいに分解できます。混合（例の δ0+\delta_0+ 密度）を、 成分に還元する定理です。

定理 ルベーグの分解定理

σ-有限測度 μ,ν\mu,\nu に対し、ν\nu は

ν=νac+νs,νac≪μ,νs⊥μ\nu=\nu_{ac}+\nu_{s},\qquad \nu_{ac}\ll\mu,\quad \nu_{s}\perp\mu

と一意に分解できる。νac\nu_{ac}（絶対連続部分）はラドン–ニコディムより密度 dνacdμ\dfrac{d\nu_{ac}}{d\mu} をもつ。

証明は上のフォン・ノイマン流の続きで、g=1g=1 となる集合（μ\mu が消える所）に νs\nu_s を、g<1g<1 の所に νac\nu_{ac} を 振り分けるだけで出ます。ラドン–ニコディムとルベーグ分解は一つの証明の表裏です。

注意 1次元での姿：分布関数の分解

R\mathbb{R} 上では、単調増加関数（分布関数）FF が測度を定める。ルベーグ分解は FF を「絶対連続部分（密度＝ F′F' の積分、微積分の基本定理）＋跳び（点質量＝離散部分）＋特異連続部分（カントール関数のように連続だが F′=0F'=0 a.e.）」に分ける話に対応する。カントール関数（悪魔の階段）が、この“特異連続”という第三の住人の実例。

微積分の基本定理の一般化

ラドン–ニコディムは、微積分の基本定理を測度論へ拡張する枠組みでもあります。R\mathbb{R} 上で ν(A)=∫Af dμ\nu(A)=\int_A f\,d\mu（f∈L1f\in L^1）なら、ルベーグの微分定理により

ddx∫axf(t) dt=f(x)(a.e. x)\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\quad(\text{a.e. }x)

が成り立ち、密度 ff が「積分してから微分すると戻ってくる」——まさに dνdμ=f\frac{d\nu}{d\mu}=f。逆に「微分してから 積分すると戻る」F(x)−F(a)=∫axF′ dtF(x)-F(a)=\int_a^x F'\,dt が成り立つのは、FF が絶対連続なとき。カントール関数はこれが 破れる（F′=0F'=0 a.e. なのに FF は 00 から 11 まで増える）——絶対連続性が基本定理の“本当の”前提だったのです。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 絶対連続 ν≪μ\nu\ll\mu の向きに注意。 「μ\mu が消せば ν\nu も消える」。ν\nu が μ\mu に従う方向。逆ではない。
  • 密度が存在する ⇔ 絶対連続。 特異な部分（点質量・カントール型）は密度で書けない。だからまず絶対連続性の 確認が要る。ディラック測度に密度はない。
  • ラドン–ニコディム微分は a.e. でしか定まらない。 一点での値には意味がない（L1L^1 の元だから）。dνdμ(x0)\frac{d\nu}{d\mu}(x_0) という言い方は本来ナンセンス。
  • 「特異連続」という第三の住人を忘れない。 分解は「絶対連続＋離散」だけではない。カントール関数のように、連続 なのに特異、という測度が存在する。σ-有限は定理の前提として効いている。

この章のまとめ

  • 測度の関係を絶対連続（ν≪μ\nu\ll\mu：μ\mu の零集合を ν\nu も無視）と特異（μ⊥ν\mu\perp\nu：別の場所に乗る）で捉える。
  • ラドン–ニコディムの定理：σ-有限で ν≪μ\nu\ll\mu なら密度 ρ=dνdμ\rho=\frac{d\nu}{d\mu} が a.e. 一意に存在。証明は**L2L^2 のヒルベルト空間性（リースの表現定理）**が心臓——前章の完備性が実を結ぶ。
  • ルベーグの分解定理：任意の測度は「絶対連続部分＋特異部分」に一意分解。1次元では分布関数の「密度＋跳び＋特異連続（カントール関数）」に対応。
  • これは微積分の基本定理の一般化でもあり、基本定理の真の前提が「絶対連続性」だったことを明かす。
  • これで測度論・ルベーグ積分は完結。ここで作った LpL^p・ヒルベルト空間・収束定理・積測度は、関数解析・フーリエ解析・確率論・偏微分方程式の共通の土台になります。

お疲れさまでした。「集合を測る」から始めて、丈夫な積分・関数空間・測度の微分まで一本の道でつながりました。次は、この土台の上に立つ関数解析や確率論へ進むのがおすすめです。