⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第3章 直和・直積・自由加群

加群を組み立てる・分解する

加群を理解する基本戦略は「単純な部品に分解し、部品を組み立てる」こと。組み立ての道具が直和・直積、 最も素直な部品が自由加群です。自由加群は「基底をもつ加群」——ベクトル空間に最も近い、扱いやすい加群で、 一般の加群を調べるときの“ものさし”になります。

自由加群の本質は普遍性にあります。「自由」とは、生成元に何の関係も課さない、最も制約の少ない加群のこと。 その結果、自由加群からの写像は、生成元をどこへ送るか決めるだけで一意に決まる——この自由さが、 圏論の「自由 ⊣ 忘却」随伴の代数幾何版として、加群論を貫きます。

自由加群＝基底をもつ加群。生成元に関係を課さない最も自由な加群で、写像は生成元の行き先で一意に決まる（普遍性）。

直和と直積

まず加群を組み合わせる二つの方法。有限個なら一致しますが、無限個で分かれます。

定義 直和・直積

RR 加群の族 {Mi}i∈I\{M_i\}_{i\in I} に対し、

  • 直積 ∏iMi\prod_i M_i：各成分が MiM_i の元である組 (xi)i(x_i)_i 全体（成分ごとに演算）。
  • 直和 ⨁iMi\bigoplus_i M_i：組 (xi)i(x_i)_i のうち有限個を除いて 00 のもの全体。

有限個なら ⨁i=1nMi=∏i=1nMi\bigoplus_{i=1}^n M_i=\prod_{i=1}^n M_i。無限個では直和は直積の真部分加群。

直和は「有限個の成分しか非ゼロでない」——だから直和の元は有限和 xi1+⋯+xikx_{i_1}+\cdots+x_{i_k} で書け、 「部品を有限個組み合わせた」もの。圏論の言葉では、直積が積（射影をもつ）、直和が 余積（入射をもつ）です。加群論では直和が主役——有限生成加群は自由加群と巡回加群の直和に分解される （第6章の構造定理）からです。

自由加群と基底

自由加群は「基底をもつ加群」。Rn=R⊕⋯⊕RR^n=R\oplus\cdots\oplus R（RR 自身の nn 個の直和）が典型です。

定義 自由加群・基底

RR 加群 FF が自由であるとは、FF の元の族 {ei}i∈I\{e_i\}_{i\in I}（基底）で、任意の元が

x=∑iriei(ri∈R, 有限個以外 0, 表し方は一意)x=\sum_i r_i e_i\quad(r_i\in R,\ \text{有限個以外}\ 0,\ \text{表し方は一意})

と一意に書けるものが存在すること。F≅⨁i∈IRF\cong\bigoplus_{i\in I}R。有限基底なら F≅RnF\cong R^n。

「一意に書ける」が肝で、これは基底が一次独立かつ生成する（ベクトル空間の基底と同じ）ことと同値。 自由加群 RnR^n は、ベクトル空間 KnK^n の加群版そのもの。ただし第1章で見たとおり、 すべての加群が自由とは限らない（Z/n\mathbb Z/n は自由でない）——ここがベクトル空間との決定的な違いです。 自由加群は「たまたま基底が取れた、行儀のよい加群」。

例 自由・非自由の例

  • RnR^n：標準的な自由加群、基底 e1,…,ene_1,\dots,e_n。
  • Zn\mathbb Z^n（R=ZR=\mathbb Z）：自由アーベル群。基底をもつアーベル群がちょうど自由。
  • Z/n\mathbb Z/n：自由でない（ねじれ、基底なし）。
  • K[x]K[x] 加群としての KnK^n（TT つき）：一般に自由でない（TT が消える多項式でねじれる）。

自由加群の普遍性

自由加群の“自由さ”を正確に言うのが普遍性です。基底の行き先を勝手に決めれば、準同型がただ一つ決まる。 これが自由加群のすべてを特徴づけます。

定理 自由加群の普遍性

FF を基底 {ei}\{e_i\} をもつ自由 RR 加群とする。任意の RR 加群 MM と任意の写像 φ:{ei}→M\varphi:\{e_i\}\to M（基底の 行き先を勝手に指定）に対し、φ\varphi を延長する RR 準同型 φ~:F→M\tilde\varphi:F\to M がただ一つ存在する （φ~(∑riei)=∑riφ(ei)\tilde\varphi(\sum r_i e_i)=\sum r_i\varphi(e_i)）。

証明

φ~(∑riei)=∑riφ(ei)\tilde\varphi(\sum r_i e_i)=\sum r_i\varphi(e_i) と定める。基底の一意表示より well-defined、RR 線形。基底での値が φ\varphi に一致し、線形性で全体が決まるので一意。∎

これはベクトル空間の「線形写像は基底の行き先で決まる」（線形代数）そのもの。自由加群では 生成元に関係が一切ないので、行き先の指定に矛盾が生じず、写像が自由に作れます。圏論の 言葉では、自由加群を作る関手が忘却関手の左随伴（自由 ⊣ 忘却）——集合から加群を最も効率よく作る操作です。

注意 すべての加群は自由加群の商

任意の加群 MM は、自由加群からの全射をもつ：生成元を基底とする自由加群 F=R(S)F=R^{(S)} から、普遍性で全射 F↠MF\twoheadrightarrow M が作れる。核 KK（関係）で割ると M≅F/KM\cong F/K——加群＝自由加群を関係で 割ったもの（表示、M=⟨M=\langle 生成元 ∣| 関係 ⟩\rangle）。F,KF,K がともに自由（有限生成）に取れれば、 関係は行列で書け、これを対角化するのが第5・6章の構造定理。「自由加群からの全射で近似する」——一般の加群を 自由という“ものさし”で測る基本戦略。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 自由加群＝基底をもつ加群。 すべての加群が自由ではない（Z/n\mathbb Z/n）。ベクトル空間なら全部自由だが、 一般の環では特別。
  • 直和と直積は無限個で違う。 直和は有限個以外 00、直積は制限なし。加群論の主役は直和（余積）。
  • 普遍性＝生成元の行き先で写像が決まる。 自由加群の本質。生成元に関係がないから矛盾なく写像が作れる。 圏論の自由⊣忘却随伴。
  • 加群＝自由加群 / 関係。 どんな加群も自由加群の商（表示）。関係を行列で書いて対角化するのが構造定理。

この章のまとめ

  • 直和 ⨁Mi\bigoplus M_i（有限個以外 00、圏論の余積）と直積 ∏Mi\prod M_i（積）。有限個で一致、加群論の主役は直和。
  • 自由加群＝基底をもつ加群（F≅⨁RF\cong\bigoplus R、RnR^n）。ベクトル空間に最も近いが、すべての加群が自由ではない（Z/n\mathbb Z/n）。
  • 自由加群の普遍性：基底の行き先を指定すれば準同型がただ一つ決まる（生成元に関係がないから）。自由 ⊣ 忘却随伴。
  • どんな加群も自由加群の商 M≅F/KM\cong F/K（表示＝生成元と関係）。この関係を対角化するのが構造定理。
  • 次章では、自由加群の階数と、なぜ「基底が取れない世界」が生じるのか——ねじれと表示行列を、より詳しく見ます。

次章では、自由加群の階数の一意性、そして一般の加群でねじれ・基底の非存在がなぜ起きるかを、表示行列とともに整理します。