第7章二つの顔 — アーベル群とジョルダン標準形

一つの定理、二つの応用

前章の構造定理は、係数環 $R$ を指定して初めて具体的な姿を現します。 $R=\mathbb Z$ を選べば有限生成アーベル群の分類、 $R=K[x]$ を選べばジョルダン標準形。群論と線形代数で別々に学んだ二大定理が、実は同じ「PID上の構造定理」の二つの顔だった——この統一が、加群論を学ぶ最大のご褒美です。

なぜ同じ定理から出るのか。第1章で見たとおり、 $\mathbb Z$ 加群＝アーベル群、 $K[x]$ 加群＝線形変換つき空間。だから「 $\mathbb Z$ 加群の分類」がアーベル群の分類、「 $K[x]$ 加群の分類」が線形変換の分類（＝標準形）になる。係数環を変えるだけで、応用先が切り替わります。

構造定理を $\mathbb Z$ 上→有限生成アーベル群の分類、 $K[x]$ 上→ジョルダン標準形。二大定理は同じ定理の二つの顔。

第一の顔——有限生成アーベル群の分類

$R=\mathbb Z$ （PID）で構造定理を読むと、有限生成アーベル群の完全な分類が出ます。アーベル群＝ $\mathbb Z$ 加群（第1章）だったからです。

定理有限生成アーベル群の基本定理

有限生成アーベル群 $A$ は

A\ \cong\ \mathbb Z^{s}\ \oplus\ \mathbb Z/d_1\oplus\cdots\oplus\mathbb Z/d_k\qquad(d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_k)

と一意に分解する。 $s$ を階数（自由部分）、 $\mathbb Z/d_i$ を巡回ねじれ部分という。初等因子形なら素べき巡回群 $\mathbb Z/p^a$ の直和。

証明

アーベル群 $A$ は $\mathbb Z$ 加群、有限生成なので構造定理（ $R=\mathbb Z$ ）を適用するだけ。∎

証明が「構造定理を適用するだけ」なのが要点です。有限アーベル群（ $s=0$ ）なら $\mathbb Z/d_1\oplus\cdots\oplus\mathbb Z/d_k$ 、初等因子形で $\bigoplus\mathbb Z/p^a$ 。位数 $n$ のアーベル群を分類するには、 $n$ の素因数分解に応じた $p^a$ の組み合わせを数えればよい——群論で苦労したアーベル群の分類が、加群論では構造定理の一行の系になります。

例位数 8 のアーベル群

位数 $8=2^3$ のアーベル群は、初等因子（ $2$ べきの分割）に応じて三種類：

\mathbb Z/8,\qquad \mathbb Z/4\oplus\mathbb Z/2,\qquad \mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2.

分割 $3=3,\ 2+1,\ 1+1+1$ に対応。位数 $n$ のアーベル群の個数は、各素べき $p^a$ の指数 $a$ の分割数の積。群論の非可換群の分類より、はるかに見通しがよい。

第二の顔——ジョルダン標準形

$R=K[x]$ （これもPID）で構造定理を読むと、線形変換の分類——ジョルダン標準形——が出ます。 $K[x]$ 加群＝「ベクトル空間 $V$ ＋線形変換 $T$ 」（ $x$ の作用が $T$ 、第1章）だからです。

定理ジョルダン標準形（構造定理の帰結）

$K$ を代数閉体、 $V$ を有限次元ベクトル空間、 $T:V\to V$ を線形変換とする。 $V$ を $K[x]$ 加群（ $x\cdot v=Tv$ ）とみなすと、ねじれ加群（ $V$ は有限次元＝ねじれ）で、初等因子は $(x-\lambda)^a$ の形。対応する巡回加群 $K[x]/((x-\lambda)^a)$ 上で $T$ はジョルダン細胞 $J_a(\lambda)$ として作用する。ゆえに $T$ はジョルダン標準形をもつ。

証明

$V$ は有限次元なので $K[x]$ 加群としてねじれ（各 $v$ は最小多項式で消える）。構造定理（ $R=K[x]$ ）の初等因子形で $V\cong\bigoplus K[x]/((x-\lambda_i)^{a_i})$ 。各成分 $K[x]/((x-\lambda)^a)$ で、基底 $\{\bar 1,\overline{(x-\lambda)},\dots\}$ に対する $x$ （＝ $T$ ）の作用がジョルダン細胞 $J_a(\lambda)$ 。∎

線形代数で「行列を対角化できないときの標準形」として学んだジョルダン標準形が、加群論では初等因子 $(x-\lambda)^a$ の分解そのものです。固有値 $\lambda$ が素元 $(x-\lambda)$ に、ジョルダン細胞の大きさ $a$ が指数に対応。線形代数のジョルダン標準形の存在と一意性が、構造定理の一意性から自動的に従います。

注意二つの顔が同じ理由——対応表

加群論	$R=\mathbb Z$ （アーベル群）	$R=K[x]$ （線形変換）
素元 $p$	素数 $p$	$(x-\lambda)$
初等因子 $p^a$	$\mathbb Z/p^a$	ジョルダン細胞 $J_a(\lambda)$
ねじれ加群	有限アーベル群	有限次元 $V$ （ $T$ つき）
構造定理	アーベル群の分類	ジョルダン標準形

「素数の塔」と「固有値の塔」が、同じ初等因子形の二つの読み方。加群論を通すと、群論と線形代数の二大定理が一枚の表に収まる。

つまずきポイント

注意よくある誤解

アーベル群の分類とジョルダン標準形は同じ定理。 係数環が $\mathbb Z$ か $K[x]$ かの違いだけ。初等因子 $p^a$ ↔ $(x-\lambda)^a$ 。
ジョルダン標準形には代数閉体が要る。 $(x-\lambda)$ に分解するため。代数閉でないと有理標準形（既約因子で分解）になる。
固有値 ↔ 素元、細胞の大きさ ↔ 指数。 ジョルダン細胞 $J_a(\lambda)$ ＝初等因子 $(x-\lambda)^a$ 。線形代数の標準形が加群の分解。
一意性は構造定理から自動。 ジョルダン標準形の一意性を別途証明する必要がない。単因子/初等因子の一意性の帰結。

この章のまとめ

第一の顔（ $R=\mathbb Z$ ）：有限生成アーベル群の基本定理 $A\cong\mathbb Z^s\oplus\bigoplus\mathbb Z/d_i$ 。有限アーベル群の分類が構造定理の一行の系（位数 $8$ は三種類）。
第二の顔（ $R=K[x]$ ）：ジョルダン標準形。初等因子 $(x-\lambda)^a$ がジョルダン細胞 $J_a(\lambda)$ 、固有値↔素元、細胞の大きさ↔指数。存在も一意性も構造定理から自動。
素数の塔 ↔ 固有値の塔——群論と線形代数の二大定理が、同じ初等因子形の二つの読み方。加群論の統一力の頂点。
Part II（構造定理）はここまで。次章から加群を組み合わせる新しい演算——テンソル積へ。「双線形写像を線形にする」その普遍性を見ます。

次章では、二つの加群からテンソル積を構成し、双線形写像を線形写像に変える普遍性と、係数拡大への応用を見ます。

第7章 二つの顔 — アーベル群とジョルダン標準形