第8章テンソル積

双線形を線形に変える

加群を組み合わせる演算に、直和（第3章）とは別の、もう一つの重要なものがあります—— テンソル積。直和が「並べる」演算なら、テンソル積は「掛け合わせる」演算。その本質は双線形写像を線形写像に変換することにあります。

双線形写像——二つの引数それぞれについて線形な写像 $f(x,y)$ ——は、線形代数（内積・行列式・線形代数）に頻出しますが、線形写像より扱いにくい。テンソル積は、双線形写像 $M\times N\to P$ を、線形写像 $M\otimes N\to P$ に一対一に翻訳する“万能の受け皿”です。この普遍性が、係数拡大・微分幾何のテンソル・代数幾何の連接層まで、あらゆる場面で効きます。

テンソル積 $M\otimes_R N$ ＝双線形写像を線形写像に変える最も普遍的な加群。「掛け合わせ」の演算。

テンソル積の構成と普遍性

テンソル積は、普遍性で定義するのが本筋です。「双線形写像を一意に因子分解する加群」——圏論の普遍対象として特徴づけます。

定義テンソル積（普遍性）

$R$ 加群 $M,N$ のテンソル積とは、 $R$ 加群 $M\otimes_R N$ と双線形写像 $\otimes:M\times N\to M\otimes_R N,\ (x,y)\mapsto x\otimes y$ の組で、次の普遍性をみたすもの：任意の $R$ 加群 $P$ と双線形写像 $f:M\times N\to P$ に対し、 $f=\tilde f\circ\otimes$ をみたす線形写像 $\tilde f:M\otimes_R N\to P$ が ただ一つ存在する。

定理構成と関係式

$M\otimes_R N$ は、記号 $x\otimes y$ （ $x\in M,y\in N$ ）で生成される自由加群を、双線形の関係

(x+x')\otimes y=x\otimes y+x'\otimes y,\quad x\otimes(y+y')=x\otimes y+x\otimes y',\quad (rx)\otimes y=x\otimes(ry)=r(x\otimes y)

で割った加群として構成できる。一般の元は $\sum_i x_i\otimes y_i$ （単純テンソルの和）。

構成は「 $x\otimes y$ という記号を、双線形の規則を課して割った」もの（第3章の「生成元と関係」）。 $(rx)\otimes y=r(x\otimes y)=x\otimes(ry)$ が要——スカラーを $\otimes$ の左右に自由に動かせる。普遍性が本質で、構成は一つの実現にすぎません。「双線形写像 $M\times N\to P$ 」と「線形写像 $M\otimes N\to P$ 」が一対一——これが $\otimes$ を使う理由のすべてです。

テンソル積の計算

普遍性から計算規則が出ます。とくに $\mathbb Z$ 加群のテンソル積は、直感を裏切ることがあり注意が要ります。

定理テンソル積の計算規則

$R\otimes_R M\cong M$ （ $R$ は単位元）。
$R^m\otimes_R R^n\cong R^{mn}$ （自由加群のテンソルは自由）。
$(\bigoplus_i M_i)\otimes N\cong\bigoplus_i(M_i\otimes N)$ （直和と交換）。
$\mathbb Z/m\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z/n\cong\mathbb Z/\gcd(m,n)$ 。

証明

(4) $\mathbb Z/m\otimes\mathbb Z/n$ で、 $1\otimes1$ が生成元。 $m(1\otimes1)=(m\cdot1)\otimes1=0$ かつ $n(1\otimes1)=1\otimes(n\cdot1)=0$ なので $\gcd(m,n)\cdot(1\otimes1)=0$ 。逆に $\mathbb Z/\gcd$ が実現でき、 $\cong\mathbb Z/\gcd(m,n)$ 。∎

規則 (4) が示唆的です。 $\mathbb Z/2\otimes\mathbb Z/3\cong\mathbb Z/\gcd(2,3)=\mathbb Z/1=0$ ——ゼロになる！互いに素な巡回群のテンソル積は消えます。「掛け合わせたら消える」——テンソル積が直和とはまったく違う、繊細な演算であることの証拠です。この繊細さ（テンソルが情報を潰しうる）が、第9・10章の「テンソルは完全性を壊す」につながります。

係数拡大

テンソル積の重要な応用が係数拡大——加群の係数環を、より大きな環へ広げる操作です。実加群を複素化する、局所環へ移す、などに使います。

定義係数拡大

環準同型 $R\to S$ があるとき、 $R$ 加群 $M$ に対し

M_S=S\otimes_R M

は $S$ 加群になる（係数拡大）。 $M$ を「 $S$ の上で考え直した」もの。

例係数拡大の例

複素化 $\mathbb R\to\mathbb C$ ：実ベクトル空間 $V$ に対し $\mathbb C\otimes_{\mathbb R}V=V_{\mathbb C}$ （複素化）。次元は保たれ、実の対象を複素で扱える（線形代数）。
自由加群 $R^n$ の係数拡大は $S^n$ （階数を保つ）。
局所化 $R\to R_\mathfrak p$ ： $M_\mathfrak p=R_\mathfrak p\otimes_R M$ （代数幾何の茎、局所的な情報の取り出し）。

係数拡大は「体を大きくすると見えるものが増える」という発想の代数版です。実行列を複素で対角化する（複素固有値が見える）、多様体を局所で調べる——すべて $S\otimes_R M$ という一つの操作。テンソル積が、係数環を自在に取り替える道具になります。

注意テンソルは「掛け算」・随伴の左側

テンソル積は加群の圏に「掛け算」を入れる（ $\otimes$ でモノイダル圏になる）。そして次章・第10章で見るように、 $-\otimes_R N$ は $\operatorname{Hom}_R(N,-)$ の左随伴（圏論のテンソル⊣Hom）。「掛けてから写す」と「写してから受け取る」が一致する——カリー化 $\operatorname{Hom}(M\otimes N,P)\cong\operatorname{Hom}(M,\operatorname{Hom}(N,P))$ がその正体。左随伴だからテンソルは余極限（直和・余核）を保つが、極限（核）は保たない——これが完全性の破れ（第9章）と $\mathrm{Tor}$ （第12章）を生む。

つまずきポイント

注意よくある誤解

テンソル積は双線形を線形にする普遍対象。 構成（記号を関係で割る）は一実現。本質は普遍性（双線形↔線形が一対一）。
一般の元は単純テンソルの和 $\sum x_i\otimes y_i$ 。 $x\otimes y$ 一個とは限らない。 $x\otimes y$ で全部を代表できない。
$\mathbb Z/m\otimes\mathbb Z/n=\mathbb Z/\gcd$ 、互いに素なら $0$ 。 テンソルは情報を潰しうる。直和と全く違う繊細な演算。
係数拡大 $S\otimes_R M$ で環を広げる。 複素化・局所化。テンソルが係数環を取り替える道具。

この章のまとめ

テンソル積 $M\otimes_R N$ ＝双線形写像を線形写像に変える最も普遍的な加群（圏論の普遍対象）。構成は「 $x\otimes y$ を双線形の関係で割る」。
計算： $R\otimes M\cong M$ 、自由×自由は自由、直和と交換、 $\mathbb Z/m\otimes\mathbb Z/n\cong\mathbb Z/\gcd(m,n)$ （互いに素なら $0$ ＝情報を潰す繊細さ）。
係数拡大 $M_S=S\otimes_R M$ ：複素化・局所化など、係数環を広げる操作。
$-\otimes N$ は $\operatorname{Hom}(N,-)$ の左随伴——余極限は保つが極限（核）は保たない。次章では、この「完全性を保つ/壊す」を短完全系列で精密に調べます。

次章では、短完全系列と分裂、Hom・テンソルがそれをどこまで保つか（左完全・右完全）、蛇の補題・五項補題を扱います。

第8章 テンソル積