第1章表現とは

抽象的な群を、行列に翻訳する

群論で、群は対称性の骨格だと学びました。でも「 $G=\langle$ 生成元 $|$ 関係 $\rangle$ 」のように抽象的に与えられた群は、そのままでは計算しにくい。そこで発想を変えます——群の各元を、具体的な行列に対応させる。群の掛け算が、行列の掛け算になるように翻訳するのです。

この翻訳が「表現」です。抽象的な対称性を、線形代数という計算可能な世界へ写し取る。行列なら、トレース・行列式・固有値が計算でき、対角化もできる。「群を線形代数で調べる」——それが表現論の出発点です。物理（素粒子・結晶）から数論まで、対称性のあるところ表現論あり、と言える強力な道具です。

表現＝群を行列に翻訳する準同型 $G\to\mathrm{GL}(V)$ 。抽象的な対称性を、計算可能な線形代数へ写し取る。

表現の定義

定義表現

群 $G$ の（体 $k$ 上の）表現とは、ベクトル空間 $V$ と群準同型

\rho:G\to\mathrm{GL}(V)

（各元 $g$ に可逆線形変換 $\rho(g)$ を、 $\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$ を保って対応）の組。 $\dim V$ を表現の次数（次元）という。 $V$ を表現空間という。基底を選べば $\rho(g)$ は行列。

核心は「 $\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$ 」——群の掛け算が行列の掛け算に翻訳されること。これで群の構造が行列の世界に忠実に映ります。以下、断らない限り $G$ は有限群、 $k=\mathbb C$ （複素数）とします。この設定が、最も美しく完全な理論（指標理論、第5章以降）を生みます。

例表現の例（易→難）

自明表現：すべての $g$ を $1$ （ $1\times1$ 単位行列）へ。次数 $1$ 。どんな群にもある。
符号表現（対称群 $S_n$ ）： $g$ を符号 $\mathrm{sgn}(g)=\pm1$ へ。次数 $1$ 。
置換表現： $G$ が集合 $X$ に作用するとき、 $X$ を基底とする空間 $\mathbb C^X$ 上で、 $g$ が基底を置換する（ $0,1$ 行列）。
標準表現：二面体群 $D_n$ が正 $n$ 角形を動かす $\mathbb R^2$ への作用（次の実演）。次数 $2$ 。

二面体群を行列で見る

抽象的な定義を、具体的な図形で体感しましょう。正 $n$ 角形の対称性（回転と鏡映）のなす二面体群 $D_n$ は、平面 $\mathbb R^2$ に自然に作用します——各対称性が $2\times2$ 行列になる。下で確かめてください。

n = 回転 rᵏ：k = 0 鏡映 s を掛ける

回転 $r^k$ （角 $2\pi k/n$ ）は回転行列、鏡映 $s\cdot r^k$ は行列式 $-1$ の鏡映行列になります。群の元が $2\times2$ 行列に翻訳され、群の掛け算が行列の掛け算に対応する——これが表現です。しかも、行列のトレース （対角成分の和）を見ると、回転は $2\cos(2\pi k/n)$ 、鏡映はつねに $0$ 。このトレースが第5章の「指標」—— 元の“種類”を一つの数で捉える、表現論の主役——の芽です。

同値な表現と忠実表現

同じ群の表現でも、基底を取り替えれば行列は変わります。基底の違いを除いて「同じ」表現を同値といいます。

定義同値・忠実

二つの表現 $\rho:G\to\mathrm{GL}(V),\ \rho':G\to\mathrm{GL}(V')$ が同値とは、可逆線形写像 $T:V\to V'$ で $T\rho(g)=\rho'(g)T$ （ $\forall g$ ）となるもの（絡作用素）が存在すること。 $\rho'(g)=T\rho(g)T^{-1}$ ——基底の取り替え。 $\rho$ が単射（ $\ker\rho=\{e\}$ ）のとき忠実という。

同値な表現は「本質的に同じ翻訳」——基底の取り替え $T\rho T^{-1}$ で移り合う（線形代数の相似）。だから表現論は、表現を同値を除いて分類します。忠実表現は「群の情報を余さず映す」翻訳（ $\ker\rho=\{e\}$ ）。一方、自明表現は忠実でない（全部 $1$ に潰れる）——群を捨てる翻訳です。表現論の目標は、あらゆる表現を、これ以上分解できない部品（既約表現、次章）の組み合わせとして、同値を除いて理解することです。

注意なぜ複素数・有限群なのか

$k=\mathbb C$ （代数閉・標数 $0$ ）と有限群の組み合わせが、表現論を最もきれいにする。複素数だと固有値が必ずあり、有限群だと「群全体で平均する」（次章マシュケ）が使えて、すべての表現が既約の直和にきれいに分解する。リー群第10・11章で見たコンパクト群の表現論（ハール測度で平均）は、有限群の $\frac1{|G|}\sum$ を積分に置き換えた連続版——同じ精神。標数が $|G|$ を割る体（正標数）では平均ができず理論が崩れる（モジュラー表現論という別世界）。本分野はこの“良い”設定を扱う。

つまずきポイント

注意よくある誤解

表現＝準同型 $G\to\mathrm{GL}(V)$ 。 「群を行列に」だが、掛け算 $\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$ を保つのが命。ただの対応でなく準同型。
同値な表現は基底違い。 $T\rho T^{-1}$ で移り合う。表現は同値を除いて分類する。
忠実 ≠ 全表現。 忠実は単射（群を余さず映す）。自明表現は忠実でない。表現には群を潰すものもある。
指標（トレース）が元の種類を捉える。 同値な表現・共役な元でトレースは不変（次章以降）。表現論の主役。

この章のまとめ

表現＝群準同型 $\rho:G\to\mathrm{GL}(V)$ （群を行列に翻訳、掛け算を保つ）。抽象的な対称性を計算可能な線形代数へ写す。例：自明・符号・置換・標準表現。
二面体群 $D_n$ の標準表現では、回転・鏡映が $2\times2$ 行列に。トレース（指標の芽）が元の種類を一つの数で捉える。
同値（基底違い $T\rho T^{-1}$ ）を除いて表現を分類。忠実表現は群を余さず映す。舞台は複素数・有限群（平均化がきく最も良い設定）。
次章では、表現を「これ以上分解できない部品」＝既約表現に分け、有限群では必ず既約の直和になること（マシュケの定理）を見ます。

次章では、部分表現・既約表現を定義し、有限群の複素表現がつねに既約表現の直和に分解すること（マシュケの定理・完全可約性）を証明します。

第1章 表現とは