⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第2章 既約表現と完全可約性

表現を「部品」に分ける

前章で表現を導入しました。次の戦略は自然です——表現を、これ以上分解できない部品に分け、部品を分類する。 分子を原子に分けるように、表現を既約表現に分ける。そして「どんな表現も既約の組み合わせにきれいに分かれる」 ——これが有限群・複素表現の最大の武器、完全可約性（マシュケの定理）です。

鍵は、前章末で予告した平均化。有限群では「群全体で平均する 1∣G∣∑g\frac1{|G|}\sum_g」という操作が使えて、 これが分解を保証します。リー群のマシュケ（コンパクト群でハール測度による平均）と同じ 精神の、有限群版です。

既約表現＝これ以上分解できない部品。有限群の複素表現はつねに既約の直和に分解（マシュケ）。証明は平均化。

部分表現と既約表現

定義 部分表現・既約表現

表現 ρ:G→GL(V)\rho:G\to\mathrm{GL}(V) に対し、部分空間 W⊆VW\subseteq V がすべての ρ(g)\rho(g) で不変（ρ(g)W⊆W\rho(g)W\subseteq W）の とき、WW を部分表現（不変部分空間）という。V≠0V\ne0 が、00 と VV 以外に部分表現をもたないとき、 ρ\rho を既約という。既約でない（真の部分表現をもつ）表現を可約という。

不変部分空間 WW があれば、ρ\rho を WW に制限した部分表現が得られます。既約表現は「不変部分空間が自明なものだけ」 ——分解の終着点、表現の“原子”です。可約表現は、部分表現をもつので、さらに分けられる余地がある。目標は 「可約を既約に分解し尽くす」ことです。

例 既約・可約の例

  • 1次表現はつねに既約（dim⁡V=1\dim V=1 なので部分空間は 0,V0,V のみ）。自明・符号表現など。
  • 二面体群 DnD_n の標準表現（R2\mathbb R^2）は既約（n≥3n\ge3）——回転と鏡映で不変な直線がない。
  • 置換表現は可約：CX\mathbb C^X は、全成分が等しいベクトルの張る直線（自明表現）を不変部分にもつ。残りが 「標準表現」で、CX=\mathbb C^X= 自明 ⊕\oplus 標準に分かれる。

マシュケの定理——完全可約性

可約表現は部分表現 WW をもちます。問題は「WW の“補い” W′W' で、これも不変なものが取れるか」。取れれば V=W⊕W′V=W\oplus W' と不変分解でき、繰り返して既約に分けられる。有限群・複素表現ではつねに取れる——これが マシュケの定理です。

定理 マシュケの定理（完全可約性）

GG を有限群、k=Ck=\mathbb C（一般に標数が ∣G∣|G| を割らない体）とする。表現 VV の任意の部分表現 WW に対し、 不変な補空間 W′W'（V=W⊕W′V=W\oplus W'、W′W' も部分表現）が存在する。ゆえに任意の表現は既約表現の直和に分解 する（完全可約）。

証明

まず任意の（不変とは限らない）射影 π0:V→W\pi_0:V\to W（π0∣W=id\pi_0|_W=\mathrm{id}）をとる。これを群平均する：

π=1∣G∣∑g∈Gρ(g) π0 ρ(g)−1.\pi=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\rho(g)\,\pi_0\,\rho(g)^{-1}.

すると π\pi は GG 不変（ρ(h)πρ(h)−1=π\rho(h)\pi\rho(h)^{-1}=\pi、和を g→hgg\to hg で並べ替え）で、なお π∣W=id\pi|_W=\mathrm{id}、像は WW。 W′=ker⁡πW'=\ker\pi とおくと、π\pi が不変ゆえ W′W' も不変、V=W⊕W′V=W\oplus W'。既約になるまで繰り返せば既約の直和。∎

証明の心臓は「平均化 1∣G∣∑gρ(g) π0 ρ(g)−1\frac1{|G|}\sum_g\rho(g)\,\pi_0\,\rho(g)^{-1}」——ありあわせの射影 π0\pi_0 を群全体で 平均すると、GG 不変な射影 π\pi に化ける。その核が不変な補空間を与えます。1∣G∣\frac1{|G|} で割れる（＝標数が ∣G∣|G| を割らない）ことが本質的で、正標数では平均が壊れます（第1章の注意）。 リー群第10章の不変内積の構成（ハール測度で平均）とまったく同じ論法です。

注意 分解の一意性——各既約は何個か

マシュケで既約分解 V≅m1V1⊕m2V2⊕⋯V\cong m_1 V_1\oplus m_2 V_2\oplus\cdots（ViV_i 相異なる既約、mim_i は重複度）が存在する。 実は重複度 mim_i は一意に定まる（次章のシューアの補題から）。だから「VV にどの既約が何個含まれるか」が VV の完全な情報。第5章以降、この重複度 mim_i を指標の内積で計算できるようになる——それが指標理論の 威力。分解の存在（マシュケ）と一意性（シューア）が、表現論の二本柱。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 既約＝不変部分空間が自明だけ。 0,V0,V 以外に不変部分空間がない。分解の終着点（原子）。11 次はつねに既約。
  • 完全可約は有限群・標数0（複素）でのみ。 平均 1∣G∣∑\frac1{|G|}\sum が要る。正標数では崩れる。無限群でも一般には 崩れる（コンパクト群は別、ハール測度で救う）。
  • 不変な補空間が取れるのが肝。 ただの補空間でなく、不変な補空間。平均化で作る。これが直和分解を可能に。
  • 分解の重複度は一意（シューア、次章）。 存在はマシュケ、一意性はシューア。二つで完全な分類。

この章のまとめ

  • 部分表現（不変部分空間）・既約表現（自明な不変部分空間だけ＝分解の原子）。11 次はつねに既約、置換表現は自明 ⊕ 標準に可約。
  • マシュケの定理：有限群・複素表現では、任意の部分表現に不変な補空間が取れ、表現は既約の直和に完全可約。証明は平均化 1∣G∣∑gρ(g)π0ρ(g)−1\frac1{|G|}\sum_g\rho(g)\pi_0\rho(g)^{-1}（リー群のハール平均の有限版）。
  • 分解 V≅⨁miViV\cong\bigoplus m_i V_i の存在はマシュケ、重複度 mim_i の一意性は次章のシューア。
  • 分解を精密にするには「既約表現の間の準同型」を理解する必要があります。次章では、その決定的な道具——シューアの補題を証明します。

次章では、既約表現間の絡作用素を統べるシューアの補題を証明し、可換群の既約表現がすべて1次元であることを導きます。