第12章 Tor・Extと総まとめ

壊れた完全性を測る

第9章で、テンソルとHomが完全性を片側で壊すのを見ました。ここで発想を転換します——壊れを嘆くのでなく、 壊れ具合を測る新しい不変量を作る。それが導来関手 $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ です。テンソルの右完全性の破れが $\mathrm{Tor}$ 、Homの左完全性の破れが $\mathrm{Ext}$ 。前章の射影加群による「良い分解」を使って計算します。

これは圏論・ホモロジー代数で一般的に学ぶ導来関手の、加群論における原型です。 $\mathrm{Tor}$ は「ねじれ」を、 $\mathrm{Ext}$ は「拡大」を検出する——名前どおりの幾何的意味をもちます。

導来関手＝関手が壊した完全性を測る。テンソルの破れが $\mathrm{Tor}$ （ねじれ）、Homの破れが $\mathrm{Ext}$ （拡大）。

Tor と Ext

作り方は共通です。加群 $M$ を射影加群で分解（射影分解）し、関手を当ててからホモロジー（像と核のずれ）をとる。分解の取り方によらず一意に定まります。

定義 Tor と Ext

$M$ の射影分解 $\cdots\to P_1\to P_0\to M\to0$ （ $P_i$ 射影、第11章）をとる。

$\mathrm{Tor}_i^R(M,N)$ ＝複体 $\cdots\to P_1\otimes N\to P_0\otimes N\to0$ の第 $i$ ホモロジー（ $-\otimes N$ の左導来関手）。
$\mathrm{Ext}^i_R(M,N)$ ＝複体 $0\to\operatorname{Hom}(P_0,N)\to\operatorname{Hom}(P_1,N)\to\cdots$ の第 $i$ コホモロジー（ $\operatorname{Hom}(-,N)$ の右導来関手）。

$\mathrm{Tor}_0=\otimes$ 、 $\mathrm{Ext}^0=\operatorname{Hom}$ で、高次が完全性の破れを測る。

$0$ 次は元の関手（ $\otimes$ ・ $\operatorname{Hom}$ ）に戻り、高次 $\mathrm{Tor}_i,\ \mathrm{Ext}^i$ が破れを段階的に捉えます。 $M$ が射影（や平坦）なら高次はすべて消える——完全性が壊れないから。だから $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ の非消滅が、加群の“非自由さ”の証拠になります。

Tor はねじれを、Ext は拡大を検出する

導来関手の名前は伊達ではありません。それぞれ具体的な幾何的意味をもちます。

定理 Tor はねじれを測る

$\mathrm{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z/m,\mathbb Z/n)\cong\mathbb Z/\gcd(m,n)$ 。より一般に、 $\mathrm{Tor}_1^R(R/aR,M)\cong\{x\in M:ax=0\}$ （ $M$ の $a$ -ねじれ）。 $M$ が平坦なら $\mathrm{Tor}_1=0$ 。

定理 Ext は拡大を分類する

$\mathrm{Ext}^1_R(C,A)$ は、短完全系列 $0\to A\to B\to C\to0$ （拡大）の同値類全体と一対一に対応する。 $\mathrm{Ext}^1(C,A)=0$ $\iff$ すべての拡大が分裂（ $B\cong A\oplus C$ しかない）。

$\mathrm{Tor}_1(\mathbb Z/2,\mathbb Z/2)=\mathbb Z/2$ は、第9章で $-\otimes\mathbb Z/2$ が単射を壊した“傷”そのもの——ねじれの検出です。 $\mathrm{Ext}^1$ は「 $A,C$ から $B$ がどう組み上がるか」の分類（第9章の分裂しない拡大）。 $\mathrm{Ext}^1(\mathbb Z/2,\mathbb Z)\ne0$ が、 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\to0$ が分裂しない理由を数値化します。関手が壊した完全性の破れが、こうして「ねじれ」「拡大」という意味ある不変量に転じます。

定理短完全系列は長完全系列を生む

短完全系列 $0\to A\to B\to C\to0$ に導来関手を施すと、長完全系列

\cdots\to\mathrm{Tor}_1(C,N)\to A\otimes N\to B\otimes N\to C\otimes N\to0

（連結準同型で接続、第9章の蛇の補題の一般化）が得られる。 $\mathrm{Ext}$ も同様。

長完全系列——短完全系列に $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ を接続したもの——が、導来関手の計算の要です。位相幾何のホモロジー長完全系列とまったく同じ構造で、連結準同型が破れを次の段へ繰り越します。これで、一つの完全系列から芋づる式に $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ が計算できます。

加群論の全体像

長い旅を振り返ります。一貫していたのは第1章の一言——「加群＝環の上のベクトル空間、係数を体から環へ広げると線形代数と群論が統一される」——の展開でした。

注意この分野の地図

加群の基本（1〜4章）：加群（ $\mathbb Z$ 加群＝アーベル群、 $K[x]$ 加群＝線形変換つき空間）、部分/剰余/準同型定理、直和・自由加群・普遍性、階数・ねじれ・表示行列。
構造定理（5〜7章）：スミス標準形、PID上有限生成加群の構造定理（単因子形・初等因子形）、二つの顔（有限アーベル群の分類＝ジョルダン標準形）。
テンソルと完全性（8〜10章）：テンソル積（双線形を線形に）、完全系列・分裂、テンソル ⊣ Hom（完全性の左右）。
加群の特殊類（11〜12章）：射影・入射・平坦、導来関手 $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ （ねじれ・拡大）。

三つの果実：(1) 係数環を変えるだけで線形代数・群論・線形変換論が統一される（構造定理）、(2) テンソル・Hom・随伴が加群の圏の基本構造をなす、(3) 完全性の破れさえ不変量になる（ $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ ）。

他分野とのつながり

注意回収と展望

回収：線形代数（ベクトル空間・ジョルダン標準形）、群論（アーベル群）、環論（イデアル・ PID・局所化・中国剰余定理）、圏論（普遍性・随伴・完全系列）を横断・統一した。
展望：可換環論・ホモロジー代数（導来関手の一般論・スペクトル系列）、表現論（群環上の加群＝表現）、代数幾何（連接層＝局所的に加群、平坦射）、代数的整数論（デデキント環上の加群）。加群は、現代代数のあらゆる分野の共通言語。

「ベクトル空間の係数を体から環へ広げる」という素朴な一般化が、構造定理による二大定理の統一、テンソルと随伴、そして $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ を経て、現代代数の基盤言語にまで届きました。線形代数と群論を一つにまとめ、表現論・代数幾何・数論の土台になる——それが加群論のもつ射程です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

導来関手＝完全性の破れの測定。 $\mathrm{Tor}_0=\otimes$ 、 $\mathrm{Ext}^0=\operatorname{Hom}$ に戻り、高次が破れ。射影/平坦なら高次消滅。
$\mathrm{Tor}$ はねじれ、 $\mathrm{Ext}$ は拡大。 $\mathrm{Tor}_1(\mathbb Z/m,\mathbb Z/n)=\mathbb Z/\gcd$ 、 $\mathrm{Ext}^1(C,A)$ ＝拡大の分類。名前どおりの意味。
射影分解の取り方によらず一意。 導来関手は well-defined。分解は計算手段。
長完全系列が計算の要。 短完全系列＋連結準同型。位相幾何のホモロジーと同じ構造。

この章のまとめ

導来関手：射影分解に関手を当ててホモロジーをとり、完全性の破れを測る。 $\mathrm{Tor}_i$ （ $-\otimes N$ の破れ）・ $\mathrm{Ext}^i$ （ $\operatorname{Hom}(-,N)$ の破れ）。射影/平坦なら高次消滅。
$\mathrm{Tor}$ はねじれ（ $\mathrm{Tor}_1(\mathbb Z/m,\mathbb Z/n)=\mathbb Z/\gcd$ ）、 $\mathrm{Ext}$ は拡大を分類（ $\mathrm{Ext}^1$ ＝拡大の同値類、分裂の判定）。短完全系列は長完全系列を生む。
加群論の精神は「係数を体から環へ広げ、線形代数と群論を統一」。構造定理（二大定理の統一）・テンソルと随伴・ $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ を柱に、表現論・代数幾何・数論の共通言語。
加群論（全12章）はこれで完結。ベクトル空間の素朴な一般化から、現代代数の基盤まで一本でつながりました。

お疲れさまでした。「環の上のベクトル空間」の旅は、構造定理による二大定理の統一、テンソルと随伴、そして完全性の破れを測る $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ まで辿り着きました。