第11章 応用 — バーンサイドの定理

表現論で群論を証明する

ここまで表現論を「群を調べる道具」として作ってきました。この章では、その威力を最も鮮やかに示す応用を見ます ——表現論を使って、純粋に群論的な定理を証明する。主役はバーンサイドの $p^a q^b$ 定理：位数が二つの素数の べきの積である群は、必ず可解（群論の可解群）。

驚くべきは、この主張が表現論なしには長らく証明できなかったこと。「群の可解性」という表現とは無関係に 見える性質が、指標の値が代数的整数であること・シューアの補題・指標表の構造という表現論の道具で、 一気に証明される。表現論が群論に“恩返し”する、美しい例です。

バーンサイドの定理：位数 $p^a q^b$ の群は可解。証明は指標の整数性・シューアの補題——表現論が群論を証明する。

準備——指標は代数的整数

証明の鍵となる事実。指標の値は代数的整数（整数係数モニック多項式の根、代数的整数論）。 $\rho(g)$ は有限位数（$g^{|G|}=e$）なので固有値は $1$ の冪根、その和（トレース＝指標）は代数的整数です。

代数的整数は「整数に近い数」——加減乗で閉じ、有理数なら通常の整数になる（代数的整数論）。 $\chi_i(g)$ が代数的整数なこと、そして $\frac{|C|\chi_i(C)}{d_i}$ も代数的整数なこと（群環の中心の作用から従う）が、 証明の二本の柱です。この整数性が、次の「奇妙な等式は特別な値を強いる」という論法を可能にします。

鍵となる補題

証明の心臓部。「共役類のサイズ $|C|$ と次元 $d_i$ が互いに素なら、$\chi_i(C)$ はゼロか絶対値 $d_i$」という、 指標値を強く縛る補題です。

この補題が「指標値は $0$ か最大」という二者択一を強います。整数性（代数的整数で $|\alpha|\le1$）から、中途半端な 値が排除される——数論的な制約が、群の構造を縛るのです。ここから、次の系（$p$ べきサイズの共役類の存在が 正規部分群を生む）を経て、バーンサイドの定理が出ます。

バーンサイドの p^a q^b 定理

証明の骨格は「$p$ べきサイズの共役類 → 指標補題で $\rho_i(g)$ がスカラー → 正規部分群 → 単純性に矛盾」。 純粋に群論的な結論（可解性）が、指標の値・整数性・正則指標の消滅という表現論の道具だけで導かれます。 表現とは無縁に見える性質が、行列に翻訳して初めて証明できる——これがバーンサイドの定理の衝撃であり、 表現論が「見える化」以上の力をもつ証拠です。

つまずきポイント

この章のまとめ

• 指標値は代数的整数（$1$ の冪根の和）。$\frac{|C|\chi_i(C)}{d_i}$ も代数的整数——この整数性が指標値を強く縛る。
• 鍵の補題：$\gcd(|C|,d_i)=1$ なら $\chi_i(C)$ はゼロか絶対値 $d_i$（$\rho_i(C)$ がスカラー）。
• バーンサイドの $p^aq^b$ 定理：位数 $p^aq^b$ の群は可解。純群論の主張を、指標の整数性・正則指標の消滅で証明——表現論が群論を証明する。
• 表現論は見える化を超えた証明の武器（フロベニウス群・単純群分類・ガロア表現）。最終章では、有限群からコンパクト群・リー群へ表現論を広げ、分野を総括します。

次章では、有限群の表現論をコンパクト群・リー群へ拡張し（ピーター–ワイル、$\mathrm{SU}(2)$）、表現論の全体像と射程をまとめます。