第8章分解と基本等式

指標理論の道具箱を完成させる

前章までで、指標表と直交関係が揃いました。この章では、それらを使って表現論の基本等式を一望します——正則表現の分解、次元の二乗和、列の直交、そして与えられた表現から既約成分を取り出す射影公式。これらは、具体的な計算（第9章で指標表を作る）の道具箱になります。

すべては第6章の直交関係の応用です。指標を既約指標で展開する——というただ一つの発想が、表現論のあらゆる計算を統一的に片づけます。

直交関係を使えば、正則表現の分解・次元の二乗和・射影公式がすべて出る。表現の分解を自在に計算できる。

正則表現の分解を指標で確認する

第4章で「正則表現は各既約を次元回含む」（ $\mathbb C[G]\cong\bigoplus d_i V_i$ ）と述べました。指標で計算すると、これが一瞬で確認でき、重複度公式の典型例になります。

定理正則表現の指標と分解

正則表現 $\mathbb C[G]$ の指標は

\chi_{\mathrm{reg}}(g)=\begin{cases}|G|&(g=e)\\0&(g\ne e)\end{cases}

（ $g\ne e$ は基底を固定点なしに置換するのでトレース $0$ ）。よって重複度は

m_i=\langle\chi_{\mathrm{reg}},\chi_i\rangle=\frac1{|G|}\cdot|G|\cdot\overline{\chi_i(e)}=\chi_i(e)=d_i.

すなわち $\mathbb C[G]\cong\bigoplus_i d_i V_i$ 。 $e$ での値を比べて $|G|=\sum_i d_i^2$ 。

正則表現の指標は「 $e$ で $|G|$ 、他はすべて $0$ 」という極端な形。だから重複度の内積 $\langle\chi_{\mathrm{reg}},\chi_i\rangle$ は $e$ の項だけが生き残り、 $\chi_i(e)=d_i$ 。各既約が次元回含まれるという第4章の事実が、指標の内積で数行に確認できました。 $g=e$ で両辺を比べれば $|G|=\sum d_i^2$ （次元の二乗和公式）。

基本等式の一覧

指標理論の基本等式を、直交関係から導かれる系としてまとめます。これらが計算の中心公式です。

定理指標理論の基本等式

$G$ の既約表現を $V_1,\dots,V_r$ （次元 $d_i$ 、指標 $\chi_i$ ）とする。

既約の個数： $r=$ （共役類の数）。
次元の二乗和： $\sum_{i=1}^r d_i^2=|G|$ 。
第一直交（行）： $\langle\chi_i,\chi_j\rangle=\delta_{ij}$ 。
第二直交（列）： $\sum_i\chi_i(C)\overline{\chi_i(C')}=\delta_{CC'}\,|G|/|C|$ 。
次元は $|G|$ を割る： $d_i\mid|G|$ （各既約の次元は群位数の約数）。

等式 5「 $d_i\mid|G|$ 」は特に強力な制約です——既約表現の次元は、必ず群位数の約数。 $|G|=\sum d_i^2$ と合わせると、既約次元の候補が大きく絞られます。たとえば位数 $6$ なら、 $6=\sum d_i^2$ かつ各 $d_i\mid6$ かつ $1$ が必ず含まれる（自明表現）ので、 $6=1+1+4$ （ $S_3$ ： $d=1,1,2$ ）か $6=1\times6$ （ $\mathbb Z/6$ ）に限られる。指標表を“手探りで”作れるのは、これらの制約のおかげです（第9章）。

射影公式——既約成分を取り出す

与えられた表現から、特定の既約成分だけを取り出す射影を、指標で書き下せます。分解を実際に実行する道具です。

定理等質成分への射影

表現 $V$ の中で、既約 $V_i$ に対応する等質成分（ $V_i$ のコピーすべて）への $G$ 不変な射影は

P_i=\frac{d_i}{|G|}\sum_{g\in G}\overline{\chi_i(g)}\,\rho(g).

$P_i$ は $V$ の $V_i$ -等質成分への射影で、 $\sum_i P_i=\mathrm{id}$ 。

証明

$P_i$ が $V_j$ -等質成分上で $\delta_{ij}\,\mathrm{id}$ に作用することを、シューアと直交関係で確認する。既約 $V_j$ 上 $\frac{d_i}{|G|}\sum_g\overline{\chi_i(g)}\rho_j(g)$ はスカラー（シューア）で、そのトレースが $d_i\langle\chi_i,\chi_j\rangle=d_i\delta_{ij}$ 、 $\dim V_j=d_j$ で割って $\delta_{ij}$ 。∎

射影公式 $P_i=\frac{d_i}{|G|}\sum_g\overline{\chi_i(g)}\rho(g)$ は、「指標で重み付けた群平均」——マシュケの平均化（第2章）を、特定の既約に狙いを定めて精密化したものです。これで、表現空間の中の「どのベクトルがどの既約に属するか」を計算で分離できる。物理（分子振動・量子状態の対称性分類）では、この射影で状態を対称性の種類ごとに分けます。

注意表現論は「対称性で分類する」道具

基本等式と射影公式が揃うと、表現論は実用の道具になる。振動する分子の基準振動、結晶中の電子状態、量子系のエネルギー準位——対称群 $G$ が作用する空間を、既約成分に分解すれば、状態が対称性の“種類”ごとに分類され、どの遷移が許されるか（選択則）まで分かる。「複雑な系を対称性の既約成分に分ける」——リー群の $\mathrm{SU}(2)$ 表現がスピンを分類したのと同じ精神。有限群でも連続群でも、表現論は対称性を計算可能にする共通言語。

つまずきポイント

注意よくある誤解

正則表現の指標は $e$ で $|G|$ 、他で $0$ 。 固定点なしの置換だから。だから重複度 $=d_i$ 、 $|G|=\sum d_i^2$ 。
既約次元は $|G|$ を割る（ $d_i\mid|G|$ ）。 強い制約。 $\sum d_i^2=|G|$ と合わせて次元候補が絞れる。
射影公式は指標で重み付けた群平均。 $P_i=\frac{d_i}{|G|}\sum\overline{\chi_i(g)}\rho(g)$ 。特定の既約を取り出す。
基本等式はすべて直交関係の系。 指標を既約指標で展開する、という一つの発想の応用。

この章のまとめ

正則表現の指標は $e$ で $|G|$ ・他で $0$ 。重複度 $m_i=d_i$ （各既約を次元回）、 $|G|=\sum d_i^2$ 。
基本等式：既約の個数＝共役類の数、 $\sum d_i^2=|G|$ 、第一・第二直交、 $d_i\mid|G|$ （次元は位数を割る）。これらが指標表構成の制約。
射影公式 $P_i=\frac{d_i}{|G|}\sum_g\overline{\chi_i(g)}\rho(g)$ （指標で重み付けた群平均）で、既約成分を取り出せる。物理の対称性分類の道具。
道具箱が完成した。次章では、これらを使って $S_3,S_4,Q_8$ などの指標表を実際に手で構成します。

次章では、直交関係と基本等式を駆使して、 $S_3\cdot S_4\cdot Q_8$ の指標表を具体的に構成する手順を追います。

第8章 分解と基本等式