⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第12章 コンパクト群・リー群への橋と総まとめ

有限から連続へ——平均を積分に

有限群の表現論の心臓は「群平均 1∣G∣∑g\frac1{|G|}\sum_g」でした。マシュケの完全可約性も、指標の直交関係も、 射影公式も、すべてこの平均から生まれた。では、連続群——回転群 SO(3)\mathrm{SO}(3) や SU(2)\mathrm{SU}(2)——の表現論は どうなるか。答えは明快です。有限和 1∣G∣∑g\frac1{|G|}\sum_g を、積分 ∫G⋯ dg\int_G\cdots\,dg（ハール測度）に置き換える。 すると、有限群の理論がそっくりコンパクト群へ移植できます。

リー群第10・11章で、まさにこれを見ました。コンパクト群のハール測度による平均化・不変内積・ 完全可約・SU(2)\mathrm{SU}(2) の既約表現。本章は、有限群表現論の到達点から、その連続版へ橋を渡し、表現論の 全体像を総括します。

群平均 1∣G∣∑g\frac1{|G|}\sum_g を積分 ∫Gdg\int_G dg（ハール測度）に置き換えると、有限群の表現論がコンパクト群へ移植される。

コンパクト群の表現論

コンパクトなリー群には、有限群の 1∣G∣∑\frac1{|G|}\sum にあたる不変積分——ハール測度——があります （リー群第10章）。これで有限群の定理がすべて連続版になります。

定理 コンパクト群への移植

コンパクト群 GG（ハール測度 dgdg、∫Gdg=1\int_G dg=1）に対し、有限群の理論が次のように移植される：

  • 完全可約（マシュケ）：任意の（有限次元）表現は既約の直和（不変内積を ∫G\int_G で構成）。
  • 指標の直交関係：⟨χi,χj⟩=∫Gχi(g)χj(g)‾ dg=δij\langle\chi_i,\chi_j\rangle=\int_G\chi_i(g)\overline{\chi_j(g)}\,dg=\delta_{ij}。
  • ただし既約表現は無限個ありうる（共役類が無限だから）。

有限群との唯一の本質的な違いは、既約表現が無限個になりうること。SU(2)\mathrm{SU}(2) なら各スピン j=0,12,1,…j=0,\frac12,1,\dots に既約が一つずつ、無限にあります（リー群第11章）。指標の直交関係は積分で書かれますが、 構造は有限群とまったく同じ——「既約指標は正規直交系」。表現論の骨格は、離散でも連続でも変わりません。

ピーター–ワイルの定理

有限群の「正則表現が全既約を含む」「既約指標が類関数の基底」（第7・8章）の連続版が、 ピーター–ワイルの定理です。コンパクト群の表現論の頂点で、フーリエ解析を一般化します。

定理 ピーター–ワイルの定理

コンパクト群 GG の既約表現の行列成分の全体は、L2(G)L^2(G)（測度論・関数解析）の 正規直交基底をなす。とくに既約指標は L2(G)L^2(G) の類関数（共役類上の関数）の正規直交基底で、

L2(G)≅⨁i^ (Vi⊗Vi∗)(全既約 Vi の和).L^2(G)\cong\widehat{\bigoplus_i}\ (V_i\otimes V_i^*)\quad(\text{全既約 }V_i\text{ の和}).

ピーター–ワイルは「有限群の正則表現の分解 C[G]≅⨁diVi\mathbb C[G]\cong\bigoplus d_iV_i」（第4章）を、 L2(G)L^2(G) の無限次元版に一般化したものです。GG 上の任意の関数が、既約表現の行列成分で展開できる——これは フーリエ解析そのもの。実際、G=S1G=S^1（円周群）なら既約表現は einθe^{in\theta}（11 次指標）で、 ピーター–ワイルは古典的フーリエ級数に一致します。G=SU(2)G=\mathrm{SU}(2) なら球面調和関数の展開。表現論は 「非可換フーリエ解析」——群の対称性で関数を分解する統一理論なのです。

例 SU(2) の指標

SU(2)\mathrm{SU}(2) のスピン jj 表現（次元 2j+12j+1）の指標は、対角化した回転（角 θ\theta）で

χj(θ)=sin⁡((2j+1)θ/2)sin⁡(θ/2)=eijθ+ei(j−1)θ+⋯+e−ijθ.\chi_j(\theta)=\frac{\sin\big((2j+1)\theta/2\big)}{\sin(\theta/2)}=e^{ij\theta}+e^{i(j-1)\theta}+\cdots+e^{-ij\theta}.

これらは ∫\int（ハール測度 2πsin⁡2(θ/2)dθ\frac2\pi\sin^2(\theta/2)d\theta）で直交する。χj⋅χj′\chi_j\cdot\chi_{j'} を分解すると 角運動量の合成則（クレブシュ–ゴルダン）Vj⊗Vj′=⨁k=∣j−j′∣j+j′VkV_j\otimes V_{j'}=\bigoplus_{k=|j-j'|}^{j+j'}V_k が出る——量子力学の スピン合成が、指標の掛け算で計算できる。有限群の χV⊗W=χVχW\chi_{V\otimes W}=\chi_V\chi_W（第5章）の 連続版。

表現論の全体像

長い旅を振り返ります。一貫していたのは第1章の一言——「抽象的な群を行列に翻訳して 見える化し、既約な部品に分解する」——の展開でした。

注意 この分野の地図

  • 表現の基礎（1〜4章）：表現（群→行列）、既約表現、マシュケの完全可約、シューアの補題、群環（表現＝加群）。
  • 指標理論（5〜8章）：指標（トレース）、直交関係、指標表、次元の二乗和・射影公式。
  • 具体例と発展（9〜12章）：指標表の構成（S3,S4S_3,S_4）、制限と誘導（フロベニウス相互律）、バーンサイドの定理、 コンパクト群・リー群（ピーター–ワイル、SU(2)\mathrm{SU}(2)）。

三つの果実：(1) 群を線形代数に翻訳して既約に分解できる（マシュケ・シューア）、(2) 全情報が指標 （トレースの列）に凝縮され、直交関係で計算できる、(3) 平均を積分に変えれば連続群（リー群・フーリエ解析）へ 拡張される。

他分野とのつながり

注意 回収と展望

  • 回収：群論（共役類・可解性）、線形代数（トレース・対角化・内積）、加群論（群環＝ 半単純環・テンソル⊣Hom）、代数的整数論（代数的整数）、フーリエ解析・ リー群（コンパクト群の平均化・SU(2)\mathrm{SU}(2)）を横断した。
  • 展望：リー群・非可換環・リー環（最高ウェイト理論）、SnS_n の表現論（ヤング 図形）、保型形式・ラングランズ計画（代数幾何のガロア表現）、そして物理——素粒子の分類・ 結晶群・量子力学の対称性。「対称性を線形代数で捉える」共通言語。

「抽象的な群を行列に翻訳する」という素朴な一手が、既約分解・指標理論・バーンサイドの定理を経て、フーリエ解析の 一般化と現代数学・物理の共通言語にまで届きました。対称性のあるところ表現論あり——群論・数論・幾何・物理を 貫いて、対称性を計算可能にする。それが表現論のもつ射程です。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 有限群→コンパクト群は「平均を積分に」。 1∣G∣∑g→∫Gdg\frac1{|G|}\sum_g\to\int_G dg（ハール）。理論の骨格は同じ、既約が 無限個になりうる点だけ違う。
  • ピーター–ワイル＝非可換フーリエ解析。 L2(G)L^2(G) を既約の行列成分で展開。S1S^1 なら古典フーリエ級数。表現論は フーリエの一般化。
  • SU(2)\mathrm{SU}(2) の指標の積＝スピン合成。 クレブシュ–ゴルダン。有限群のテンソル積の指標則の連続版。
  • 本章は橋渡し（地図）。 リー群・リー環の表現論の詳細はリー群・非可換環・リー環へ。

この章のまとめ

  • 有限群の群平均 1∣G∣∑\frac1{|G|}\sum をハール測度の積分 ∫Gdg\int_G dg に置き換えると、完全可約・直交関係・射影がコンパクト群へ移植される（既約は無限個になりうる）。
  • ピーター–ワイルの定理：既約表現の行列成分が L2(G)L^2(G) の正規直交基底——表現論は非可換フーリエ解析（S1S^1 で古典フーリエ級数、SU(2)\mathrm{SU}(2) で球面調和関数・スピン合成）。
  • 表現論の精神は「群を行列に翻訳し、既約に分解し、指標で計算する」。群論・加群論・フーリエ解析・リー群・数論・物理を貫く、対称性の共通言語。
  • 表現論（全12章）はこれで完結。抽象的な群の「見える化」から、バーンサイドの定理・非可換フーリエ解析・現代物理まで、一本の道でつながりました。

お疲れさまでした。群を行列に翻訳する旅は、既約分解と指標理論、バーンサイドの定理、そしてリー群・フーリエ解析への橋まで辿り着きました。