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第10章 制限と誘導 — フロベニウスの相互律

部分群と全体群を行き来する

大きな群 GG の表現論を、部分群 HH の表現論と関係づけたい。二つの自然な操作があります——GG の表現を HH に 制限する（下ろす）、そして HH の表現から GG の表現を誘導する（持ち上げる）。この二つが、部分群と 全体群の表現論をつなぐ橋です。

驚くべきことに、制限と誘導は互いに随伴（圏論）——指標の内積で美しく結ばれます。 この関係（フロベニウスの相互律）が、大きな群の指標表を部分群から組み立てる強力な道具になり、SnS_n の 表現論（ヤング図形）など、より進んだ理論の入り口になります。

制限（GG→HH に下ろす）と誘導（HH→GG に持ち上げる）は互いに随伴。指標の内積が一致する（フロベニウス）。

制限と誘導

定義 制限表現・誘導表現

H≤GH\le G を部分群とする。

  • GG の表現 VV の制限 ResHGV\mathrm{Res}^G_H V：同じ VV を、HH の作用だけ見た HH 表現。指標は χV\chi_V を HH に制限しただけ。
  • HH の表現 WW の誘導 IndHGW\mathrm{Ind}_H^G W：WW を GG 全体へ「引き伸ばした」GG 表現。次元は [G:H]⋅dim⁡W[G:H]\cdot\dim W。C[G]⊗C[H]W\mathbb C[G]\otimes_{\mathbb C[H]}W（加群論のテンソル）として構成できる。

制限は簡単——VV の作用を HH だけに絞るだけ。誘導は少し込み入っていて、HH の表現 WW を、剰余類 G/HG/H の 各コピーに配って GG 全体の表現に膨らませます（次元が [G:H][G:H] 倍になる）。加群論の言葉では、 誘導は群環のテンソル C[G]⊗C[H]W\mathbb C[G]\otimes_{\mathbb C[H]}W——係数拡大（加群論第8章）の 群環版です。

定理 誘導指標の公式

誘導表現 IndHGW\mathrm{Ind}_H^G W の指標は

χInd W(g)=1∣H∣∑x∈Gx−1gx∈HχW(x−1gx).\chi_{\mathrm{Ind}\,W}(g)=\frac1{|H|}\sum_{\substack{x\in G\\ x^{-1}gx\in H}}\chi_W(x^{-1}gx).

gg の共役のうち HH に入るものについて、WW の指標を平均する。

フロベニウスの相互律

制限と誘導の関係が、この章の主定理。「誘導した表現の指標との内積」と「制限した表現の指標との内積」が 等しい——制限と誘導が随伴であることの指標版です。

定理 フロベニウスの相互律

H≤GH\le G、WW を HH の表現、VV を GG の表現とする。すると

⟨ χIndHGW, χV ⟩G = ⟨ χW, χResHGV ⟩H.\big\langle\,\chi_{\mathrm{Ind}_H^G W},\ \chi_V\,\big\rangle_G\ =\ \big\langle\,\chi_W,\ \chi_{\mathrm{Res}^G_H V}\,\big\rangle_H.

すなわち HomG(IndHGW, V)≅HomH(W, ResHGV)\mathrm{Hom}_G(\mathrm{Ind}_H^G W,\ V)\cong\mathrm{Hom}_H(W,\ \mathrm{Res}^G_H V)——誘導は制限の左随伴 （圏論）。

証明

誘導指標の公式と内積の定義を代入し、和を並べ替える。左辺 1∣G∣∑g∈GχInd W(g)χV(g)‾\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{\mathrm{Ind}\,W}(g)\overline{\chi_V(g)} に 誘導指標を入れ、GG 上の和を HH 上の和に整理すると、右辺 1∣H∣∑h∈HχW(h)χV(h)‾\frac1{|H|}\sum_{h\in H}\chi_W(h)\overline{\chi_V(h)} に 一致する。（随伴 Ind⊣Res\mathrm{Ind}\dashv\mathrm{Res} は、C[G]⊗C[H](−)⊣Res\mathbb C[G]\otimes_{\mathbb C[H]}(-)\dashv\mathrm{Res}＝ テンソル⊣Homの群環版としても従う。）∎

相互律の威力は「大きな群 GG の既約 VV が、誘導表現 Ind W\mathrm{Ind}\,W に何個含まれるか」を、「小さな群 HH の側の 内積」で計算できること。HH の表現論（簡単）から GG の表現論（難しい）の情報が取れます。とくに WW が HH の 11 次表現なら Ind W\mathrm{Ind}\,W の分解が読め、指標表の未知の行を埋めるのに使えます。加群論の テンソル⊣Hom随伴が、ここで表現論の相互律として現れる——分野を貫く随伴の力です。

例 相互律の使い方

HH の 11 次表現 WW を誘導した IndHGW\mathrm{Ind}_H^G W を、GG の既約 ViV_i に分解したい。フロベニウスより

（Ind W に Vi が入る重複度）=⟨χInd W,χi⟩G=⟨χW,Res χi⟩H.（\mathrm{Ind}\,W\text{ に }V_i\text{ が入る重複度}）=\langle\chi_{\mathrm{Ind}\,W},\chi_i\rangle_G=\langle\chi_W,\mathrm{Res}\,\chi_i\rangle_H.

右辺は HH 上の内積で計算が楽。たとえば H=An≤SnH=A_n\le S_n の 11 次表現の誘導から、SnS_n の既約が組み立てられる。 SnS_n の表現論（ヤング図形・特性写像）は、この制限・誘導の精密化として展開される。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 制限は簡単（作用を絞る）、誘導は膨らませる（次元 [G:H][G:H] 倍）。 誘導は C[G]⊗C[H]W\mathbb C[G]\otimes_{\mathbb C[H]}W （群環テンソル）。
  • フロベニウス：⟨Ind W,V⟩G=⟨W,Res V⟩H\langle\mathrm{Ind}\,W,V\rangle_G=\langle W,\mathrm{Res}\,V\rangle_H。 大きな群の内積を小さな群の内積で 計算。誘導⊣制限（左随伴）。
  • 誘導指標は「HH に入る共役」で平均。 すべての gg でなく、x−1gx∈Hx^{-1}gx\in H となる共役のみ。
  • 随伴は加群論のテンソル⊣Homの群環版。 分野を貫く随伴。相互律はその指標での顔。

この章のまとめ

  • 制限 ResHGV\mathrm{Res}^G_H V（GG 表現を HH に絞る）と誘導 IndHGW\mathrm{Ind}_H^G W（HH 表現を GG に膨らませる、次元 [G:H][G:H] 倍、C[G]⊗C[H]W\mathbb C[G]\otimes_{\mathbb C[H]}W）。
  • フロベニウスの相互律 ⟨Ind W,V⟩G=⟨W,Res V⟩H\langle\mathrm{Ind}\,W,V\rangle_G=\langle W,\mathrm{Res}\,V\rangle_H——誘導は制限の左随伴（加群論のテンソル⊣Homの群環版）。
  • 相互律で、大きな群の既約分解を小さな群の内積で計算できる。指標表の構成・SnS_n の表現論（ヤング図形）の入り口。
  • 次章では、表現論を群論そのものへ応用する——バーンサイドの paqbp^a q^b 定理（可解性）など、表現論が代数の定理を証明する力を見ます。

次章では、表現論を使って群論の定理を証明する——バーンサイドの paqbp^a q^b 定理（可解群）を例に、表現論の代数への応用を見ます。