第10章比較定理I — ボンネ–マイヤー

局所の曲率が、空間の大きさを縛る

いよいよ比較幾何の本丸です。「曲率という局所の情報が、空間の直径・体積・位相という大域の性質を決める」——これが比較定理の精神です。第一の定理はボンネ–マイヤー：リッチ曲率に正の下界があると、空間はそれ以上大きくなれず、有限に閉じてコンパクトになる。

直感は第8章のヤコビ場です。正曲率は測地線を引き戻し、共役点で交わらせる（第8章）。共役点の先では測地線が最短でなくなる。だから、正曲率が十分強ければ、測地線は「ある長さより先へは最短として伸びられない」—— それが空間の直径の上限を与えるのです。局所の曲がりが、大域の“大きさの天井”を作る。

ボンネ–マイヤー：リッチ曲率が正の下界 $(n-1)k>0$ をもつ完備多様体は、直径 $\le\pi/\sqrt k$ で有界・コンパクト。

ボンネ–マイヤーの定理

定理ボンネ–マイヤーの定理

完備な $n$ 次元リーマン多様体 $M$ のリッチ曲率が

\mathrm{Ric}(u,u)\ \ge\ (n-1)k\,|u|^2\qquad(k>0,\ \text{全方向})

をみたすなら、 $M$ は

\mathrm{diam}(M)\ \le\ \frac\pi{\sqrt k}

（直径が有界）で、したがってコンパクト。さらに基本群 $\pi_1(M)$ は有限。

証明

背理法＋ヤコビ場（第二変分）。 $d(p,q)>\pi/\sqrt k$ なる二点があると仮定し、最短測地線 $\gamma$ （ホップ–リノウ、第9章）を長さ $L>\pi/\sqrt k$ でとる。 $\gamma$ に沿う適当なヤコビ場的な変分ベクトル場 $V_i(t)=\sin(\tfrac{\pi t}L)\,e_i(t)$ （ $e_i$ は平行な正規直交枠）で長さの第二変分を計算すると、その総和が

\sum_i I(V_i,V_i)=\int_0^L\Big(\tfrac{\pi^2}{L^2}\cos^2-\sin^2\!\cdot\mathrm{Ric}(\gamma',\gamma')\Big)dt\ \le\ (n-1)\int_0^L\sin^2\!\Big(\tfrac{\pi^2}{L^2}-k\Big)dt<0

（ $L>\pi/\sqrt k$ より $\frac{\pi^2}{L^2}<k$ ）。第二変分が負＝ $\gamma$ の近くにより短い道がある。これは $\gamma$ が最短であることに矛盾。よって $d(p,q)\le\pi/\sqrt k$ 。有界閉＋完備でコンパクト（ホップ–リノウ）。∎

証明の心臓は「長さの第二変分が負になる」こと。第一変分がゼロ（測地線）でも、二階微分（第二変分）が負なら、その測地線は最短でない——山の峠のように、ずらせば短くなる。リッチ曲率の正の下界が、 $L$ が大きいとこの第二変分を負に追い込む。第8章の共役点（測地線が最短でなくなる）を、リッチ曲率の平均で定量化したのがこの証明です。

例球面とその御利益

半径 $r$ の球面 $S^n$ はリッチ曲率 $(n-1)/r^2$ （ $k=1/r^2$ ）で、直径 $\pi r=\pi/\sqrt k$ ——ボンネ–マイヤーの等号を達成。定理は「球面と同じかそれ以上に曲がっていれば、球面と同じかそれ以下の大きさ」と読める。応用として、リッチ曲率が正の一様下界をもつ空間は、決して無限に広がれない——たとえ計量が複雑でも、正曲率が一定以上なら宇宙は閉じている。

曲率から位相へ

ボンネ–マイヤーの真価は、幾何（曲率・直径）を超えて位相（コンパクト性・基本群）を縛る点にあります。

注意基本群が有限になる仕組み

$M$ の普遍被覆 $\tilde M$ も同じリッチ下界をみたす（局所的性質は被覆で保たれる）ので、ボンネ–マイヤーより $\tilde M$ もコンパクト。コンパクトな空間を有限葉でしか覆えない…のではなく、 $\tilde M$ がコンパクトなら被覆の葉数＝ $|\pi_1(M)|$ が有限。ゆえに $\pi_1(M)$ は有限群。「正のリッチ曲率」という微分幾何の条件が、「基本群が有限」という代数的位相の結論を強制する——局所の曲がりが、空間の穴の構造まで支配する。位相幾何とリーマン幾何が交差する、比較定理の醍醐味。

たとえば、トーラス $T^n$ （ $\pi_1=\mathbb Z^n$ で無限）には、リッチ曲率が正で一様下界をもつ計量は入らない。どんなに計量を工夫しても、無限の基本群がボンネ–マイヤーと矛盾するからです。曲率の正定値性が、位相によって禁じられる——幾何と位相の深い緊張関係が、この一点に凝縮されています。

つまずきポイント

注意よくある誤解

必要なのはリッチ曲率の下界（断面曲率でなく）。 ボンネ–マイヤーは平均的な曲率（リッチ）が正で十分。より弱い条件で強い結論。
正の“下界”が命。 リッチ $>0$ だけでは足りず、一様な正の下界 $(n-1)k$ が要る（ $k>0$ 定数）。 $\mathrm{Ric}>0$ でも下界が $0$ に近づくと無限に広がりうる（放物面など）。
証明は第二変分が負＝最短でない。 共役点（第8章）の定量版。長すぎる測地線は第二変分が負になり最短性を失う。
結論はコンパクト＋基本群有限。 幾何（直径有界）だけでなく位相まで縛る。トーラスに正リッチ計量は入らない。

この章のまとめ

ボンネ–マイヤーの定理：リッチ曲率が正の下界 $(n-1)k>0$ をもつ完備多様体は、直径 $\le\pi/\sqrt k$ で有界・コンパクト、基本群 $\pi_1$ は有限。
証明の核は長さの第二変分が負（長すぎる測地線は最短でない）——第8章の共役点をリッチ曲率で定量化。球面が等号を達成。
帰結：正のリッチ下界をもつ空間は無限に広がれず、位相まで縛られる（トーラスに正リッチ計量は入らない）。局所の曲がりが大域の大きさと位相を決める。
正曲率は空間を閉じ込めた。次章は逆——非正曲率が空間を単純に開かせるカルタン–アダマールの定理と、体積比較を見ます。

次章では、非正曲率の完備単連結多様体が ℝⁿ に微分同相になること（カルタン–アダマール）と、体積比較定理の概観を扱います。

第10章 比較定理I — ボンネ–マイヤー