第9章完備性とホップ–リノウの定理

「穴のない」空間で幾何をする

第3章で「測地線は局所的に最短」、第8章で「共役点の先で最短性が失われる」と見ました。では大域的に、任意の二点は最短の測地線で結べるのか。これは自明ではありません。たとえば平面から一点を抜いた $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ では、原点をはさんだ二点を結ぶ最短測地線が存在しない（原点の“穴”を避けねばならない）。

この“穴”を排除する条件が完備性です。しかも、完備性には二つの顔——「測地線がどこまでも伸びる」（測地完備）と「距離空間としてコーシー列が収束する」（距離完備、集合と位相）——があり、それらが同値で、さらに「最短測地線の存在」まで導く。これがホップ–リノウの定理、大域リーマン幾何の出発点です。

ホップ–リノウ：測地完備＝距離完備。しかも完備なら任意の二点が最短測地線で結ばれる。大域幾何の土台。

二つの完備性

定義測地完備・距離完備

リーマン多様体 $(M,g)$ が

測地完備：すべての測地線がすべての実数 $t$ に対して定義できる（どこまでも伸ばせる、有限時間で “端”に達しない）。同値に、 $\exp_p$ が $T_pM$ 全体で定義される。
距離完備：距離 $d$ （第1章）に関してコーシー列が収束する（距離空間として完備）。

測地完備は「動的」——測地線という運動が永遠に続けられる。距離完備は「静的」——距離空間に穴がない（集合と位相の完備性）。一見別の概念が、リーマン計量のもとでは一致します。

ホップ–リノウの定理

定理ホップ–リノウの定理

連結リーマン多様体 $(M,g)$ について、次は同値：

$M$ は測地完備。
$M$ は距離完備。
ある一点 $p$ で $\exp_p$ が $T_pM$ 全体で定義される。
$M$ の有界閉集合はコンパクト（ハイネ–ボレル性）。

さらに、これらが成り立つとき、任意の二点 $p,q$ は長さ $d(p,q)$ の最短測地線で結ばれる。

証明

核心（最短測地線の存在）： $p$ を固定し、 $q$ へ向かう。 $p$ 中心の小さな測地球面上で $q$ に最も近い点 $x_0$ をとる（球面はコンパクトなので最小が存在）。 $x_0$ を通る $p$ からの放射測地線 $\gamma$ を、測地完備性で $q$ まで伸ばす。「 $\gamma$ に沿って進むと $q$ への距離がちょうど進んだ分だけ減る」ことを、ガウスの補題（第4章）と距離の三角不等式で示すと、 $\gamma$ が長さ $d(p,q)$ の最短測地線になる。同値性 (1)⟺(2) は、コーシー列の極限を測地線の延長として捕まえることで示す。∎

証明の心臓は「測地球面上で $q$ に最も近い点を選び、そこへの放射測地線を伸ばすと、それが最短になる」。球面のコンパクト性（最小値の存在）と、測地完備性（測地線を $q$ まで伸ばせる）と、ガウスの補題（放射測地線が最短方向）が組み合わさります。第4章までに築いた道具が、大域的な最短測地線の存在という果実を結びます。

例完備・不完備の例

コンパクト多様体（球面・トーラス）は必ず完備（有界閉＝全体でコンパクト）。閉じた宇宙には穴がない。
ユークリッド空間・双曲空間は完備（非コンパクトだが穴がない）。
$\mathbb R^2\setminus\{0\}$ は不完備（原点へ向かう測地線が有限時間で“落ちる”）。開円板も不完備。
コンパクトなら常に完備なので、閉じた空間の大域幾何ではホップ–リノウが無条件で使える。

完備性が大域幾何を可能にする

ホップ–リノウは、これ以降の比較定理（第10・11章）の前提です。「任意の二点が最短測地線で結ばれる」がなければ、曲率と距離の議論が回りません。完備性は、局所の幾何（測地線・曲率）を大域の幾何（直径・体積・位相）へ橋渡しする鍵です。

注意完備性は「大域を語る資格」

局所的な性質（測地線・曲率・ヤコビ場）は完備性なしでも定義できる。だが「空間全体の直径」「二点間の最短距離」「空間の位相型」といった大域的な主張には、測地線が全体を隅々まで結ぶ完備性が要る。第10章ボンネ–マイヤー（正曲率 → 直径有界 → コンパクト）も第11章カルタン–アダマール（非正曲率 → $\exp_p$ が大域微分同相 → $\mathbb R^n$ に微分同相）も、まず完備性を仮定する。「曲率という局所情報から空間の形という大域結論へ」——その橋が完備性。次章から、その橋を渡る。

つまずきポイント

注意よくある誤解

測地完備と距離完備は同値（ホップ–リノウ）。 「測地線が永遠に伸びる」＝「距離空間として穴がない」。リーマン計量のもとで一致する非自明な定理。
完備 ⇒ 最短測地線が存在。 任意の二点が長さ $d(p,q)$ の測地線で結ばれる。不完備（穴あき平面）では存在しないことがある。
完備 ≠ コンパクト。 ユークリッド・双曲空間は完備だが非コンパクト。コンパクトなら必ず完備（逆は偽）。
最短測地線は一意とは限らない。 球の対蹠点は無数の最短測地線（経線）で結ばれる。存在は保証、一意性は曲率による（第11章で非正曲率なら一意）。

この章のまとめ

完備性の二つの顔——測地完備（測地線がどこまでも伸びる、 $\exp_p$ が全域定義）と距離完備（コーシー列が収束）——は同値（ホップ–リノウ）。有界閉集合がコンパクト、とも同値。
完備なら任意の二点が長さ $d(p,q)$ の最短測地線で結ばれる。証明は測地球面上の最近点＋放射測地線の延長＋ガウスの補題。
コンパクト ⇒ 完備（球面・トーラス）。穴あき平面は不完備。完備性は局所の幾何を大域へ橋渡しする、比較定理の前提。
完備性という土台の上で、いよいよ曲率が空間の形を決める。次章では、正曲率が空間を有限に閉じ込めるボンネ–マイヤーの定理を証明します。

次章では、リッチ曲率が正の下界をもつ完備多様体が有界・コンパクトになること（ボンネ–マイヤーの定理）を、ヤコビ場を使って証明します。

第9章 完備性とホップ–リノウの定理