第8章ヤコビ場

曲率が測地線の広がりを決める

前章までで「曲率が体積の縮みを支配する」と繰り返し予告してきました。それを精密に記述するのがヤコビ場です。問いはこうです——一点から少し方向を変えて出発した二本の測地線は、進むにつれて近づくのか、離れるのか。その隔たりの変化を、曲率が直接支配します。

これは比較幾何（第9〜11章）の心臓です。「正曲率だと測地線が寄り集まる」「負曲率だと指数的に離れる」という直感を、 $J''+KJ=0$ という一本の方程式が数式にする。この方程式が、正曲率空間の有限性（ボンネ–マイヤー）も、負曲率空間の単純さ（カルタン–アダマール）も生みます。

ヤコビ場＝近接測地線の隔たり。ヤコビ方程式 $J''+KJ=0$ に従い、曲率が測地線の収束（正）・発散（負）を決める。

ヤコビ場とヤコビ方程式

測地線をなめらかに変形した「測地線の族」を考え、その変分ベクトル場を追います。

定義ヤコビ場

測地線 $\gamma$ の族 $\gamma_s$ （各 $s$ で測地線）の変分ベクトル場 $J(t)=\frac{\partial}{\partial s}\gamma_s(t)\big|_{s=0}$ をヤコビ場という。 $J$ はヤコビ方程式

\nabla_{\gamma'}\nabla_{\gamma'}J+R(J,\gamma')\gamma'=0

をみたす。 $J(t)$ は「近くの測地線が、基準の測地線からどれだけ離れているか」を表す。

定理断面曲率一定なら J''+KJ=0

$\gamma$ に沿って断面曲率が定数 $K$ のとき、 $\gamma'$ に直交するヤコビ場の大きさ $J(t)=|J(t)|$ は

J''(t)+K\,J(t)=0

をみたす（ $'$ は $t$ 微分）。 $J(0)=0,\ J'(0)=1$ （一点から出る場合）の解は

J(t)=\begin{cases}\dfrac{\sin(\sqrt K\,t)}{\sqrt K}&(K>0)\\[1mm] t&(K=0)\\[1mm]\dfrac{\sinh(\sqrt{-K}\,t)}{\sqrt{-K}}&(K<0).\end{cases}

このヤコビ方程式は、微分方程式で解いた単振動 $J''+KJ=0$ そのもの。曲率 $K$ が「復元力」の役目をします。 $K>0$ なら振動解 $\sin$ ——測地線が引き戻され収束する。 $K<0$ なら双曲関数 $\sinh$ ——指数的に発散する。 $K=0$ なら線形 $t$ ——一定の割合で広がる。下で体感しましょう。

断面曲率 K ＝ 1.00

断面曲率 $K$ を動かすと、一点から出た近接測地線の隔たり $J(t)$ の運命が三通りに分かれます。 $K>0$ では測地線が収束し、 $t=\pi/\sqrt K$ で再び交わる——共役点。 $K=0$ では線形に広がり、 $K<0$ では指数的に開いて二度と交わらない。曲率という局所量が、測地線の大域的な振る舞いを完全に支配しているのが見えます。

共役点——測地線が最短でなくなる場所

$K>0$ で現れた「測地線が再び交わる点」が共役点です。ここが、測地線が最短経路であることをやめる境界になります。

定義共役点

測地線 $\gamma$ 上の点 $\gamma(t_0)$ が $\gamma(0)$ の共役点であるとは、 $J(0)=J(t_0)=0$ となる自明でないヤコビ場 $J$ が存在すること。「無限小に近い測地線が、 $\gamma(t_0)$ で再び出会う」。

定理共役点の先で測地線は最短でない

測地線 $\gamma$ が $\gamma(0)$ の共役点 $\gamma(t_0)$ を通り過ぎると、 $\gamma$ は $t>t_0$ でもはや最短経路ではない（より短い道が存在する）。

球面で、北極から出た経線たちが南極（共役点）で再会するのを思い出してください。南極までは各経線が最短ですが、南極を過ぎると「反対回りの方が近い」——最短性が失われる。正曲率が測地線を引き戻し、共役点を作り、そこで最短性を壊す。この連鎖が、次章以降の比較定理を駆動します。

注意曲率の符号 → 測地線の運命 → 空間の形（比較定理の予告）

$K>0$ （正）：共役点が現れる（ $t=\pi/\sqrt K$ 以内）→ 測地線が短くなる → 空間の直径が有界（第10章ボンネ–マイヤー）。球のように閉じる。
$K\le0$ （非正）： $J=\sinh$ か $t$ で単調増加、共役点が決してない → 測地線はずっと最短 → $\exp_p$ が大域微分同相（第11章カルタン–アダマール）。双曲空間のように開いて広がる。ヤコビ方程式 $J''+KJ=0$ の解の振る舞い（振動 vs 発散）が、そのまま空間の大域的な形を決める。これが比較幾何の全体像。

つまずきポイント

注意よくある誤解

ヤコビ場は「近接測地線の隔たり」。 測地線の族の変分。ヤコビ方程式 $\nabla_{\gamma'}^2 J+R(J,\gamma')\gamma'=0$ で曲率が復元力になる。定曲率で $J''+KJ=0$ 。
正曲率で収束（共役点）、負曲率で発散。 $\sin$ vs $\sinh$ 。 $K$ が振動/発散を切り替える。 $K=0$ は線形。
共役点の先で最短性が失われる。 共役点までは最短、その先は別の道が短い（球の南極）。「測地線＝最短」が破れる境界。
共役点は $K\le0$ では存在しない。 $\sinh,t$ は $0$ に戻らない。だから非正曲率では測地線がずっと最短（第11章）。

この章のまとめ

ヤコビ場 $J$ ＝近接測地線の隔たり。ヤコビ方程式 $\nabla_{\gamma'}^2J+R(J,\gamma')\gamma'=0$ 、定曲率で $J''+KJ=0$ 。曲率が「復元力」で、 $K>0$ は $\sin$ （収束）、 $K=0$ は $t$ （線形）、 $K<0$ は $\sinh$ （指数発散）。
共役点（ $J(0)=J(t_0)=0$ ）＝近接測地線が再会する点。 $K>0$ では $t=\pi/\sqrt K$ 以内に現れ、その先で測地線は最短でなくなる（球の南極）。 $K\le0$ では共役点なし。
曲率の符号 → 測地線の収束/発散 → 空間の大域的な形、という因果（比較定理の心臓）。
Part II（曲率）はここまで。次章から大域幾何へ。まず「測地線がどこまでも伸びる」完備性と、最短測地線の存在を保証するホップ–リノウの定理を扱います。

次章では、距離完備と測地完備が同値であること（ホップ–リノウの定理）と、完備なら任意の二点が最短測地線で結ばれることを見ます。

第8章 ヤコビ場