第4章定数係数線形微分方程式

線形なら、代数方程式に化ける

前章までの一般論は強力ですが、具体的に解を書けるわけではありません。ところが線形という条件を課すと、状況が一変します。とくに係数が定数の線形方程式——ばね振動 $y''+\omega^2y=0$ 、RLC 回路、減衰振動——は、 微分方程式が代数方程式（特性方程式）に化けて、解が指数関数と三角関数で完全に書けます。

秘密は「 $e^{\lambda x}$ を微分しても $e^{\lambda x}$ の定数倍」という指数関数の性質。 $y=e^{\lambda x}$ を代入すると、微分が $\lambda$ の掛け算に変わり、方程式が $\lambda$ の多項式方程式になる。あとは代数学の基本定理で根を求めるだけ。そして線形方程式のもう一つの宝が、解全体がベクトル空間をなすこと——線形代数がまるごと使えます。この章で、定数係数線形方程式を系統的に解く技術を確立します。

定数係数線形方程式は、 $y=e^{\lambda x}$ の代入で特性方程式（ $\lambda$ の多項式）に化ける。解空間は $n$ 次元ベクトル空間。

線形性と解空間

定義線形微分方程式

$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)$ を $n$ 階線形微分方程式という（ $g=0$ で同次、 $g\ne0$ で非同次）。左辺を作用素 $L[y]$ と書くと $L[c_1y_1+c_2y_2]=c_1L[y_1]+c_2L[y_2]$ （線形性）。

定理解空間は n 次元

同次線形方程式 $L[y]=0$ の解全体は、 $n$ 次元のベクトル空間をなす。すなわち一次独立な $n$ 個の解 $y_1,\dots,y_n$ （基本解系）があり、一般解は $y=c_1y_1+\cdots+c_ny_n$ 。

証明

線形性より解の集合は部分空間。 $n$ 次元であることは、存在と一意性から：初期値 $(y(x_0),\dots,y^{(n-1)}(x_0))\in\mathbb R^n$ を解に対応させる写像が線形同型（各初期値にちょうど一つの解、逆に解は初期値で決まる）。ゆえ解空間 $\cong\mathbb R^n$ 。∎

「解を全部知る＝ $n$ 個の独立な解を見つける」。線形代数の基底の考え方（第2章）が、微分方程式の解の構造をそのまま記述します。あとは、その $n$ 個の解を実際に求める方法です。

特性方程式

定数係数の同次方程式に $y=e^{\lambda x}$ を代入します。

定理特性方程式

定数係数同次方程式 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=0$ に $y=e^{\lambda x}$ を代入すると、 $e^{\lambda x}\ne0$ より $\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0$ （特性方程式）。この根 $\lambda$ が解 $e^{\lambda x}$ を与える。

$y^{(k)}=\lambda^ke^{\lambda x}$ なので、微分の階数 $k$ が $\lambda^k$ に対応し、微分方程式が多項式方程式になる。根の様子（相異なる・重根・複素）に応じて、基本解系が決まります。

定理根に応じた基本解

特性方程式の根に対し、 $n$ 個の一次独立な実解を次で得る：

相異なる実根 $\lambda$ ： $e^{\lambda x}$ 。
$m$ 重根 $\lambda$ ： $e^{\lambda x},\ xe^{\lambda x},\ x^2e^{\lambda x},\dots,x^{m-1}e^{\lambda x}$ （ $m$ 個）。
複素共役根 $\alpha\pm i\beta$ ： $e^{\alpha x}\cos\beta x,\ e^{\alpha x}\sin\beta x$ （オイラーの公式で実化）。

証明

（重根の場合。） $\lambda$ が特性多項式 $p$ の $m$ 重根なら、演算子 $L=p(D)$ （ $D=\frac{d}{dx}$ ）は $(D-\lambda)^m$ を因子にもつ。 $(D-\lambda)^m[x^ke^{\lambda x}]=0$ （ $k<m$ ）が計算で確かめられる（ $(D-\lambda)[x^ke^{\lambda x}]=kx^{k-1}e^{\lambda x}$ を $m$ 回で消える）。ゆえ $x^ke^{\lambda x}$ （ $k=0,\dots,m-1$ ）は解。複素根はオイラーの公式 $e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)$ の実部・虚部をとる。∎

微分演算子 $D=\frac{d}{dx}$ を「代数的な量」として扱い、 $L=p(D)$ と因数分解する視点が強力です。 $(D-\lambda)$ の掛け算が $e^{\lambda x}$ を消す、という代数計算で解が出ます。

例振動と減衰

単振動 $y''+\omega^2y=0$ ：特性方程式 $\lambda^2+\omega^2=0$ 、根 $\pm i\omega$ 。一般解 $y=c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x$ （振動）。
減衰振動 $y''+2\gamma y'+\omega^2y=0$ （ $\gamma<\omega$ ）：根 $-\gamma\pm i\sqrt{\omega^2-\gamma^2}$ 。 $y=e^{-\gamma x}(c_1\cos+c_2\sin)$ （振幅が指数的に減衰）。
重根（臨界減衰） $y''+2y'+y=0$ ： $\lambda=-1$ （ $2$ 重）。 $y=(c_1+c_2x)e^{-x}$ 。

物理の振動現象——単振動・減衰・臨界減衰・過減衰——が、特性方程式の根の位置（虚軸上・複素・実重根・実相異）で完全に分類されます。「根の実部が負なら減衰、虚部があれば振動」——この読み方が定性理論へ繋がります。

オイラーの微分方程式

定数係数でなくても、変数変換で定数係数に帰着する重要な型があります。

注意オイラー（コーシー–オイラー）方程式

$x^2y''+axy'+by=0$ （各項で $x$ の冪と微分の階数が一致）は、 $y=x^\lambda$ を代入すると $\lambda$ の代数方程式に化ける（または $x=e^t$ の変換で定数係数になる）。特性方程式 $\lambda(\lambda-1)+a\lambda+b=0$ の根で解が決まる。

つまずきポイント

注意よくある誤解

重根では $x^ke^{\lambda x}$ を足す。 $m$ 重根なら $e^{\lambda x},xe^{\lambda x},\dots,x^{m-1}e^{\lambda x}$ の $m$ 個。 $e^{\lambda x}$ だけでは基本解系が足りない。
複素根は実解に直す。 $e^{(\alpha\pm i\beta)x}$ の実部・虚部 $e^{\alpha x}\cos\beta x,e^{\alpha x}\sin\beta x$ 。オイラーの公式。
解空間は $n$ 次元。 一般解は $n$ 個の任意定数（＝一次独立な $n$ 個の解の線形結合）。線形代数の基底そのもの。
根の実部が安定性を決める。 実部 $<0$ なら $x\to\infty$ で減衰、 $>0$ なら発散。定性理論の芽。

この章のまとめ

線形性より同次方程式の解全体は $n$ 次元ベクトル空間（存在一意性から）。一般解＝一次独立な $n$ 個の基本解の線形結合。
定数係数なら $y=e^{\lambda x}$ の代入で特性方程式（ $\lambda$ の多項式）に化ける。相異なる根は $e^{\lambda x}$ 、 $m$ 重根は $x^ke^{\lambda x}$ 、複素根は $e^{\alpha x}\cos\beta x,e^{\alpha x}\sin\beta x$ 。
振動・減衰・臨界減衰は根の位置で分類される。演算子 $L=p(D)$ の因数分解が解を生む。

次章は、非同次項（外力）がある場合——未定係数法・定数変化法とロンスキアンを扱います。

第4章 定数係数線形微分方程式