第9章多項式環とガウスの補題

係数環の良さは、多項式環に受け継がれるか

$K[x]$ （体上の一変数多項式）はユークリッド整域で、一意分解できました（第7章）。では係数が体でない $\mathbb Z[x]$ はどうか。これは PID ではありません（第7章： $(2,x)$ が非単項）。それでも $\mathbb Z[x]$ で素因数分解が一意にできる——つまり UFD である——ことを保証するのが、この章のガウスの補題です。

鍵は「係数の共通因子（内容）」を分離する操作です。 $\mathbb Z[x]$ の多項式を「係数の gcd」と「係数が互いに素な部分（原始多項式）」に分け、原始多項式の積がまた原始的だ（ガウスの補題）と示せば、 $\mathbb Z[x]$ の一意分解が $\mathbb Z$ と $\mathbb Q[x]$ の一意分解に帰着します。結論「UFD ⇒ UFD[x] も UFD」から、 $\mathbb Z[x]$ も $K[x_1,\dots,x_n]$ （多変数）も UFD だと分かる—— 代数幾何や次章の既約性判定の土台になる、実り多い定理です。

ガウスの補題：原始多項式の積は原始的。帰結としてUFD 上の多項式環は UFD。 $\mathbb Z[x]$ 、 $K[x_1,\dots,x_n]$ は UFD。

多項式環の基本

定義多項式環と次数

可換環 $R$ 上の多項式環 $R[x]=\{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0:a_i\in R\}$ 。最高次の係数が非零のときその次数を $\deg f$ 、最高次係数を先頭係数という。 $R$ が整域なら $R[x]$ も整域で $\deg(fg)=\deg f+\deg g$ 、単元は $R^\times$ （定数の単元）のみ。

命題割り算（先頭係数が単元のとき）

$R$ 可換環、 $g\in R[x]$ の先頭係数が単元なら、任意の $f$ に対し $f=qg+r$ （ $\deg r<\deg g$ ）となる $q,r$ が一意に存在。特に $g$ がモニック（先頭係数 $1$ ）なら常に割れる。

体 $K$ 上なら全非零定数が単元なので、 $K[x]$ は常に割り算でき ED でした。係数が $\mathbb Z$ だと先頭係数が単元でないと割れず、そのぶん理論が繊細になります。そこを乗り越える道具が「内容」です。

内容と原始多項式

定義内容・原始多項式

UFD $R$ の多項式 $f=a_nx^n+\cdots+a_0\in R[x]$ に対し、係数の最大公約数 $c(f)=\gcd(a_0,\dots,a_n)$ を内容という（同伴を除いて定まる）。 $c(f)$ が単元（係数が互いに素）のとき $f$ を原始多項式という。

任意の $f\in R[x]$ は $f=c(f)\cdot f_0$ （ $f_0$ 原始的）と分離できます。「係数の共通因子をくくり出す」操作です。この分離のもとで、内容が積とどう振る舞うかが核心になります。

ガウスの補題

定理ガウスの補題

UFD $R$ において、原始多項式の積は原始多項式。したがって $c(fg)=c(f)c(g)$ （内容は乗法的）。

証明

$f,g$ 原始的とし、 $fg$ が原始的でないと仮定する。すると $fg$ の全係数を割る素元 $p$ がある。剰余環 $R/(p)$ は整域（ $p$ 素元ゆえ $(p)$ 素イデアル）なので、 $(R/(p))[x]$ も整域。 $\bar f,\bar g$ を $R/(p)$ 係数への還元とすると $\bar f\bar g=\overline{fg}=0$ 。整域なので $\bar f=0$ または $\bar g=0$ 、つまり $p$ が $f$ の全係数か $g$ の全係数を割る—— $f,g$ が原始的であることに反する。ゆえ $fg$ は原始的。 $c(fg)=c(f)c(g)$ は $f=c(f)f_0,g=c(g)g_0$ と分離して従う。∎

証明の急所は「 $p$ で還元すると整域 $(R/(p))[x]$ に落ち、 $\bar f\bar g=0\Rightarrow\bar f=0$ or $\bar g=0$ 」。素イデアルで割ると整域になる（第4章）ことが、ここで効いています。この乗法性が、多項式環の一意分解を運びます。

UFD 上の多項式環は UFD

定理ガウスの定理

$R$ が UFD なら $R[x]$ も UFD。したがって $R$ が UFD なら $R[x_1,\dots,x_n]$ も UFD。

証明

（要点。） $R$ の商体を $F$ とする。 $F[x]$ は体上の多項式環ゆえ UFD（ED）。 $R[x]$ の既約元は、 $R$ の素元（定数）か、原始的で $F[x]$ で既約な多項式に限る（ガウスの補題より、 $R[x]$ での既約性と $F[x]$ での既約性が原始多項式について一致する）。 $f\in R[x]$ を $f=c(f)f_0$ と分け、 $c(f)$ を $R$ で既約分解（ $R$ が UFD）、 $f_0$ を $F[x]$ で既約分解して分母を払い原始化する。内容の乗法性（ガウスの補題）が、この分解の一意性を保証する。∎

系重要な UFD

$\mathbb Z[x]$ 、 $\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]$ 、 $K[x_1,\dots,x_n]$ （体上の多変数多項式環）はすべて UFD。（ただし2変数以上・係数 $\mathbb Z$ では PID ではない。）

多変数多項式環が UFD であることは、代数幾何で「多項式（超曲面）の既約分解」を扱う基礎です。 $K[x,y,z]$ で「既約多項式＝既約な超曲面」という辞書が、この定理で保証されます。

ガウスの補題の系：既約性の橋

系 R[x] と F[x] の既約性

$R$ を UFD、 $F$ をその商体とする。原始多項式 $f\in R[x]$ （ $\deg f\ge1$ ）について、 $f\ \text{が}\ R[x]\ \text{で既約}\ \iff f\ \text{が}\ F[x]\ \text{で既約}.$

これは実用上とても重要です。「 $\mathbb Z[x]$ での既約性」と「 $\mathbb Q[x]$ での既約性」が（原始多項式について）一致する—— だから次章の既約性判定（ $\mathbb Z$ 係数で調べれば $\mathbb Q$ 上でも既約）が正当化されます。有理数係数の多項式の既約性を、整数係数に還元して調べられるのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

$R[x]$ が UFD でも PID とは限らない。 $\mathbb Z[x]$ は UFD だが非 PID。「UFD ⇒ UFD[x]」は保つが「PID ⇒ PID[x]」は偽（ $K[x]$ は PID だが $K[x,y]$ は非 PID）。
内容は同伴を除いて定まる。 $\gcd$ が同伴を除いて一意なので、 $c(f)$ も。原始性は「係数が互いに素」。
ガウスの補題の核心は素イデアルで還元して整域を使う点。 $R/(p)$ が整域だから $\bar f\bar g=0$ で片方が $0$ 。
既約性の橋は原始多項式について。 $2x\in\mathbb Z[x]$ は $\mathbb Q[x]$ で既約（ $x$ と同伴）だが $\mathbb Z[x]$ では $2\cdot x$ と分解（原始的でない）。

この章のまとめ

多項式の内容 $c(f)$ （係数の gcd）で $f=c(f)f_0$ （原始的）と分離。ガウスの補題：原始多項式の積は原始的（ $c(fg)=c(f)c(g)$ ）、証明は素イデアルで還元して整域を使う。
UFD ⇒ UFD[x] も UFD（ガウスの定理）。ゆえ $\mathbb Z[x]$ 、 $K[x_1,\dots,x_n]$ は UFD（多変数でも一意分解、代数幾何の土台）。
系：原始多項式は $R[x]$ で既約 $\iff F[x]$ で既約。有理係数の既約性を整数係数に還元して調べられる（次章の判定法の正当化）。

次章は、この橋を使って多項式の既約性を実際に判定する——有理根定理・mod p 還元・アイゼンシュタインの判定法を扱います。

第9章 多項式環とガウスの補題