第8章一意分解の証明（PID ⇒ UFD）

「素因数分解できる」を、公理から証明する

$\mathbb Z$ で素因数分解が一意なのは、小学校以来の“常識”です。でも本当は証明を要する定理でした（算術の基本定理）。そして前章で見たように、 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ では成り立たない——だから「なぜ $\mathbb Z$ では成り立つのか」を、その根拠まで遡って理解する必要があります。

この章は、階層の要である PID ⇒ UFD を完全に証明します。一意分解の主張は2つの部分に分かれます—— 存在（各元が既約元の積に書ける）と一意性（その分解が本質的に一通り）。存在は「イデアルの昇鎖が止まる」という有限性（ネーター性、第12章の主題）から、一意性は「PID では既約元＝素元」という第6章の橋から出ます。証明の構造を追うことで、 $\mathbb Z$ の一意分解が何に支えられていたのかが見えます。

PID ⇒ UFD。存在はイデアルの昇鎖条件（分解が止まる）、一意性は「既約＝素」から。 $\mathbb Z$ の一意分解の根拠。

準備：PID では既約元は素元

一意性の鍵になる橋を、まず PID で確立します（第6章の「UFD で既約＝素」を、UFD をまだ仮定せず PID で直接示す）。

補題 PID で既約 ⇒ 素

PID $R$ で、既約元 $p$ は素元。同値： $(p)$ は素イデアル（実は極大イデアル）。

証明

$p$ 既約とし、 $(p)\subseteq I\subseteq R$ なるイデアル $I$ をとる。 $R$ は PID なので $I=(a)$ 。 $(p)\subseteq(a)$ より $a\mid p$ 、 $p=ab$ 。 $p$ 既約ゆえ $a$ が単元（このとき $(a)=R$ ）か $b$ が単元（このとき $(a)=(p)$ ）。よって $(p)$ と $R$ の間にイデアルが無く $(p)$ は極大イデアル。第4章より極大 ⇒ 素、ゆえ $(p)$ は素イデアル、 $p$ は素元。∎

「既約元が生成するイデアルは極大」——PID だからこそ、 $a\mid p$ が「 $a$ が単元か $p$ と同伴か」の二択に絞られる。これで一意性の準備ができました。次は存在です。

存在：分解は必ず止まる

「各元が既約元の積に分解できる」を示します。素朴には「分解できなければ、無限に分解し続けられて矛盾」ですが、それを厳密にするのがイデアルの昇鎖条件です。

補題 PID は昇鎖条件を満たす（ネーター的）

PID $R$ では、イデアルの昇鎖 $(a_1)\subseteq(a_2)\subseteq(a_3)\subseteq\cdots$ は必ず有限で止まる（ある $n$ で $(a_n)=(a_{n+1})=\cdots$ ）。

証明

和 $I=\bigcup_k(a_k)$ はイデアル（昇鎖の和）。 $R$ は PID なので $I=(d)$ 。 $d\in I=\bigcup(a_k)$ ゆえ、ある $n$ で $d\in(a_n)$ 。すると $I=(d)\subseteq(a_n)\subseteq I$ 、つまり $(a_n)=I$ 。以降 $(a_n)=(a_{n+1})=\cdots=I$ で止まる。∎

命題既約分解の存在

PID $R$ の非零・非単元は、既約元の積に分解できる。

証明

背理法。既約元の積に書けない非零非単元 $a$ があるとする。 $a$ 自身は既約でない（既約なら自明に書ける）ので $a=a_1b_1$ （ $a_1,b_1$ ともに非単元）。 $a_1,b_1$ の少なくとも一方（ $a_1$ とする）も既約分解できない（両方できれば $a$ もできる）。 $a_1$ は $a$ の真の因子ゆえ $(a)\subsetneq(a_1)$ （同伴でない： $b_1$ が非単元）。同様に $a_1=a_2b_2$ と続けると、 $(a)\subsetneq(a_1)\subsetneq(a_2)\subsetneq\cdots$ という真に増大する無限の昇鎖ができる。これは昇鎖条件に反する。ゆえ、そのような $a$ は無い。∎

「分解し続けると真に増大する昇鎖ができるが、それは止まらねばならない（有限性）——だから分解は有限回で終わる」。これが存在証明の心臓です。有限性（ネーター性）が「無限に分解し続ける」を禁じるのです。

一意性

命題既約分解の一意性

PID $R$ で、 $p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s$ （すべて既約元）ならば $r=s$ で、適当に並べ替えると $p_i\sim q_i$ （同伴）。

証明

$r$ に関する帰納法。 $p_1\mid q_1\cdots q_s$ で、補題より $p_1$ は素元なので、ある $q_j$ を割る（並べ替えて $p_1\mid q_1$ ）。 $q_1$ は既約で $p_1$ は非単元ゆえ $q_1=up_1$ （ $u$ 単元）、 $p_1\sim q_1$ 。整域で消去律を使い両辺を $p_1$ で割ると $p_2\cdots p_r=u\,q_2\cdots q_s$ 。帰納法の仮定より $r-1=s-1$ （ $\Rightarrow r=s$ ）で残りも同伴。∎

一意性の証明で**「 $p_1$ が素元」がまさに効いています**（素だから積 $q_1\cdots q_s$ を割れば、どれか一つの $q_j$ を割る）。 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ で一意性が崩れたのは、既約元が素元でなかったから——ここで前章の反例と正確に繋がります。

定理 PID ⇒ UFD

単項イデアル整域は一意分解整域。

証明

存在（分解の存在、昇鎖条件から）と一意性（同伴・順序を除いて一意、既約＝素から）を合わせて UFD の定義を満たす。∎

これで前章の階層 ED ⊂ PID ⊂ UFD の主要な含意が完全に証明されました。とくに $\mathbb Z$ （ED）と $K[x]$ （ED）が一意分解をもつことが、公理から導かれたことになります。

なぜ2つの条件が要るのか

注意存在と一意性は独立

一意分解には存在（昇鎖条件＝有限性）と一意性（既約＝素）の両方が要る。片方だけでは不十分：

一意性（既約＝素）があっても、分解が存在しない（無限に分解し続ける）環では UFD にならない。
存在があっても、既約と素がずれる（ $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ ）と一意性が崩れる。

PID はこの両方を自動的に満たす稀な良い環——「イデアルが単項」という一条件から、昇鎖条件と既約＝素が両方導かれる（上の2補題）。だから PID は一意分解できる。有限性と素イデアルの理論、両方の合流点です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

一意分解＝存在＋一意性。 どちらも証明が要る。 $\mathbb Z$ の素因数分解の一意性も定理（自明でない）。
存在は昇鎖条件（ネーター性）から。 「無限に分解し続けられない」を保証するのが有限性。第12章のネーター環の原型。
一意性は既約＝素から。 PID では既約元が生成するイデアルが極大（ゆえ素）。この橋が一意性を生む。
PID ⇒ UFD は一方向。 UFD が PID とは限らない（ $\mathbb Z[x]$ 、前章）。

この章のまとめ

PID ⇒ UFD の証明は2本柱。存在：PID はイデアルの昇鎖条件（ネーター的）を満たし、分解が無限に続けないので既約分解が存在する。
一意性：PID では既約元＝素元（ $(p)$ が極大ゆえ素）。素性を使って分解の一意性（同伴・順序を除く）が出る。
一意分解には有限性（存在）と素イデアル論（一意性）の両方が必要。 $\mathbb Z,K[x]$ の一意分解が公理から証明された。 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ の崩壊は既約≠素が原因。

整域論を終え、次章から多項式環に焦点を移します。まずはガウスの補題と「UFD 上の多項式環は UFD」を扱います。

第8章 一意分解の証明（PID ⇒ UFD）