第12章連結性

「ひとつながり」を、切れ目の無さで定義する

最後のテーマは、いちばん素朴な問い——その空間はひとつながりか、それともバラバラか。区間 $[0,1]$ はひとつながり、2つの離れた区間 $[0,1]\cup[2,3]$ は2つに分かれている。円周はつながっているが、1点を抜くと…？

「ひとつながり」を正確に言うには、「2つの開集合にきれいに分割できない」と否定形で捉えるのがコツです。分けられないなら、ひとつながり。この連結性は、微積分の中間値の定理の本当の理由であり、そして「穴の数」で空間を区別する位相幾何学への入り口になります。集合と位相の締めくくりにふさわしい、幾何へ橋を架けるテーマです。

連結＝交わらない2つの開集合に割れない＝切れ目が無い。中間値の定理の源であり、位相幾何への扉。

連結性

定義連結

位相空間 $X$ が連結とは、 $X$ を交わらない2つの空でない開集合の和には分割できないこと。（同値：開かつ閉である集合が $\emptyset$ と $X$ に限る。）

「2つの開集合に割れない」という否定形が定義の中心です。 $[0,1]\cup[2,3]$ は $[0,1]$ と $[2,3]$ （互いに相手の中で開かつ閉）に割れるので非連結。 $\mathbb R$ や区間は連結。「開かつ閉が自明なものだけ」という言い換えは、証明でとても使いやすい形です。連結性は連続写像で保たれます。

定理連続像の連結性と中間値の定理

$f:X\to Y$ が連続で $X$ が連結なら、像 $f(X)$ も連結。系（中間値の定理）：連結空間上の連続な実数値関数は、2つの値の間のすべての値をとる。

微積分第5章の中間値の定理が、ここで正体を現します。 $\mathbb R$ の連結部分集合は区間だけ。連続写像は連結を連結へ写すので、連結な定義域上の連続関数の像は $\mathbb R$ の中の区間＝中間の値をすべて含む。 「つながっているものを連続に写せばつながったまま、途中の値を飛ばせない」——中間値の定理は連結性の一行の帰結だったのです。

弧状連結：実際に道でつなぐ

連結は「割れない」という否定形でした。もっと積極的に「どの2点も道で結べる」で定義するのが弧状連結です。

定義弧状連結

$X$ が弧状連結とは、任意の2点 $x,y$ に対し連続写像（道） $\gamma:[0,1]\to X$ で $\gamma(0)=x,\gamma(1)=y$ となるものが存在すること。

命題弧状連結 ⇒ 連結

弧状連結なら連結。逆は一般には成り立たない。

「道でつなげる」ほうが直感的で強い条件です。逆が成り立たない有名な反例がトポロジストのサイン曲線 $\{(x,\sin\frac1x):0<x\le1\}\cup(\{0\}\times[-1,1])$ 。原点付近で無限に振動するため、 $y$ 軸部分と曲線部分を連続な道で結べない（弧状連結でない）のに、全体は切り離せず連結。「つながっている」と「道で行ける」は微妙に違う、という位相の奥深さを示す例です。ただし多くの良い空間（ $\mathbb R^n$ の開集合、多様体）では両者は一致します。

連結成分

つながっていない空間も、「つながっている最大の塊」に自然に分解できます。

定義連結成分

$X$ の各点を含む最大の連結部分集合を、その点の連結成分という。連結成分は互いに交わらず、 $X$ を分割する（各成分は閉集合）。

「 $x$ と $y$ が同じ連結成分にある」は同値関係で、 $X$ をひとつながりの塊たちにきれいに割ります。連結成分の個数は位相不変量（第8章）——同相なら成分数は等しい。だから「1点を抜くと成分数が変わるか」で空間を区別できます。区間 $[0,1]$ は内点を抜くと2成分に割れるが、円周 $S^1$ は1点抜いても1成分のまま——ゆえに両者は同相でない。第8章で予告した区別が、これで完結します。

位相幾何への扉

注意次はどこへ

連結成分は「 $0$ 次元の穴（何個の塊か）」を数える不変量とみなせる。これを「 $1$ 次元の穴（ループが引っかかる穴）」「 $2$ 次元の穴（空洞）」…へ精密化したのが、基本群やホモロジー（→位相幾何学）。弧状連結の「道」を、道の変形（ホモトピー）まで込めて考えると基本群が生まれる。集合と位相は、ここから代数的トポロジー・多様体論へと受け継がれていく。

つまずきポイント

注意よくある誤解

連結は否定形で定義する。 「2つの開集合に割れない」＝「開かつ閉が自明のみ」。積極的定義がしにくいのが連結、しやすいのが弧状連結。
連結でも弧状連結とは限らない（トポロジストのサイン曲線）。逆（弧状連結 ⇒ 連結）は常に真。
中間値の定理は「定義域が連結」で成り立つ。微分可能性は不要——連結性だけの帰結。

この章のまとめ

連結＝交わらない2つの開集合に割れない＝開かつ閉が自明のみ。連続像は連結で、その系が中間値の定理。
弧状連結（道で結べる）は連結より強い（逆は一般に偽）。連結成分は空間をひとつながりの塊に分割し、その個数は位相不変量。
連結成分は「 $0$ 次元の穴」の数。これを高次へ精密化すると基本群・ホモロジー＝位相幾何学へ。

これで集合と位相は一区切りです。濃度・選択公理から始め、距離空間で解析の土台を固め、位相空間で「近さ」を距離から解放しました。ここで培った開集合・コンパクト・連結・分離の言葉は、位相幾何学・多様体論・関数解析へと、あらゆる方向に流れ込んでいきます。おつかれさまでした。

第12章 連結性