第3章距離空間 — 「近い」を測る

「近い」さえあれば、解析はできる

微分積分学では、極限も連続も「距離 $|x-a|$ が小さい」で語りました。振り返ると、微積分で本当に使っていたのは2点の間の“距離”という1つの数だけ。足し算や掛け算より前に、「近い・遠い」という感覚こそが解析の土台だったのです。

だったら、 $\mathbb R$ に限らず距離さえ測れる空間を用意すれば、そこでも収束・連続・完備性の話がまるごとできるはず。関数の集まり、数列の集まり、図形——距離を入れられる場所すべてで解析が動く。その舞台が距離空間です。この章では、距離という1つの関数から、開集合・閉包・境界といった「かたち」の言葉がすべて生まれる様子を見ます。

距離 $d(x,y)$ という1つの数さえあれば、収束・連続・開閉が定義できる。舞台は $\mathbb R$ を大きく超える。

距離の公理

定義距離空間

集合 $X$ と関数 $d:X\times X\to\mathbb R$ が、次を満たすとき $(X,d)$ を距離空間という：

$d(x,y)\ge0$ 、 $d(x,y)=0\iff x=y$ （非負性・同一性）
$d(x,y)=d(y,x)$ （対称性）
$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ （三角不等式）

どれも「距離」に当然求める性質です。とくに三角不等式「遠回りは近道より長い」が、証明の主役になります。 $\mathbb R^n$ の普通の距離（ユークリッド距離）はもちろん、次のように舞台は一気に広がります。

例いろいろな距離空間

$\mathbb R^n$ のユークリッド距離、関数の空間 $C[a,b]$ の上限距離 $d(f,g)=\sup_x|f(x)-g(x)|$ （→関数解析）、任意の集合に入る離散距離 $d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\1&x\ne y\end{cases}$ 。「関数どうしの距離」が測れることで、関数の収束を点の収束と同じ言葉で扱えるようになる。

開集合・閉集合：距離から生まれる「かたち」

距離が決まると、「その点のまわり」を半径で切り取れます。ここからすべての位相的概念が芽吹きます。

定義開球・開集合・閉集合

中心 $a$ ・半径 $r$ の開球 $B(a,r)=\{x:d(a,x)<r\}$ 。 $U$ が開集合とは、各点 $a\in U$ に対しある $r>0$ で $B(a,r)\subseteq U$ （どの点にも“余白”がある）。補集合が開集合であるものを閉集合という。

開集合は「へりを含まない、余白のある集まり」。 $\mathbb R$ の開区間 $(0,1)$ が典型で、端 $0,1$ を含まないからどの点も少し左右に動く余地がある。閉集合はその逆で、へりまで含む（ $[0,1]$ ）。「開いている／閉じている」は 距離だけで定義されました。これが次章以降で「距離を捨てても開集合さえあれば…」という一般化（位相空間）への布石になります。

閉包・内部・境界

一つの集合 $A$ に対し、「へり」に注目した3つの操作を定めます。

定義内部・閉包・境界

内部 $A^\circ$ ： $A$ に含まれる最大の開集合（余白のある点の全体）。閉包 $\overline A$ ： $A$ を含む最小の閉集合（ $A$ の点か、 $A$ にいくらでも近い点の全体）。境界 $\partial A=\overline A\setminus A^\circ$ （内部にも外部にも属さない“へり”）。

$A=(0,1]$ なら、内部 $(0,1)$ 、閉包 $[0,1]$ 、境界 $\{0,1\}$ 。「閉包＝ $A$ にくっついて離れない点まで全部」という感覚が大事で、 $\overline A$ は「 $A$ の点列の極限をすべて含めた集合」とも言えます（ $x\in\overline A \iff A$ の点で $x$ にいくらでも近づける）。

収束と連続を、距離で言い直す

定義収束と連続（ε-δ）

点列 $x_n\to x$ とは $d(x_n,x)\to0$ 。写像 $f:X\to Y$ が点 $a$ で連続とは $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\ d_X(x,a)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$ 。

微積分第1章の $\varepsilon$ - $\delta$ と一字一句同じ。違うのは $|x-a|$ が $d(x,a)$ に置き換わった点だけです。だから微積分で鍛えた収束・連続の議論が、そっくり任意の距離空間で通用します。さらに——

命題開集合による連続の特徴づけ

$f:X\to Y$ が（全体で）連続 $\iff$ 任意の開集合 $V\subseteq Y$ に対し逆像 $f^{-1}(V)$ が開集合。

「開集合の逆像が開集合」。これは $\varepsilon$ - $\delta$ を集合の言葉に翻訳したもので、 距離が消えても意味をもつのが画期的。第7章で位相空間に進むとき、この形が連続の“正式な定義”になります。

稠密と可分

定義稠密・可分

$A$ が $X$ で稠密とは $\overline A=X$ （ $X$ のどの点にも $A$ の点がいくらでも近い）。可算な稠密部分集合をもつ空間を可分という。

$\mathbb Q$ は $\mathbb R$ で稠密（どの実数もいくらでも近い有理数で近似できる）、しかも可算なので $\mathbb R$ は可分。「可算個の“見本”で全体を近似できる」という可分性は、実際の計算・近似で決定的です（連続関数を多項式で、と近似できる背景にもこれがある）。第1章の「稠密でも可算」がここで意味を持ちます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

開でも閉でもない集合がある。 $(0,1]$ は開でも閉でもない。逆に $\emptyset$ と $X$ は開かつ閉。「開の反対が閉」ではない。
閉包は「点列の極限を足す」。 内部は「余白のある点を残す」。 $\overline{A}=A\cup\partial A$ 、 $A^\circ=A\setminus\partial A$ 。
連続の特徴づけは「開集合の逆像が開」。順像（像）ではない。向きを間違えやすい。

この章のまとめ

距離 $d$ の3公理（特に三角不等式）から、開球・開集合・閉集合・内部・閉包・境界という「かたち」の言葉がすべて生まれる。
収束・連続は微積分の $\varepsilon$ - $\delta$ をそのまま流用でき、連続は「開集合の逆像が開」と言い換えられる（距離を捨てても残る形）。
$\mathbb Q\subset\mathbb R$ のように稠密な可算部分集合をもつ空間は可分。可算個の見本で全体を近似できる。

次章は、距離空間で「極限がちゃんと存在する」ための性質——完備性を掘り下げます。

第3章 距離空間 — 「近い」を測る