⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第4章 完備性

「近づいているのに、行き先が無い」を避けたい

微積分第2章で、有理数には穴があると見ました。1.4,1.41,1.414,…1.4,1.41,1.414,\dots は 一点に寄っていくのに、その行き先 2\sqrt2 は有理数の外。近づいているのに、近づく先が世界に無い。 これでは「極限をとる」という操作が安全に使えません。

距離空間でも同じ心配があります。点列が「互いに密集していく」のに、収束先がその空間に 存在しないことがある。この穴が無い——密集する列は必ず行き先をもつ——という性質が完備性です。 完備性は、方程式の解の存在（次章の不動点定理）や関数空間の良さ（→関数解析）を 支える、解析の背骨になります。

完備 ＝ 穴が無い ＝ 「互いに近づく列（コーシー列）は必ず収束する」。極限を安心して使える土台。

コーシー列と完備性

収束の定義は「行き先 xx」を名指しする必要がありました。行き先を知らずに「収束しそう」と言うため、 列の内部だけを見る条件を使います。

定義 コーシー列・完備距離空間

点列 (xn)(x_n) がコーシー列とは ∀ε>0,∃N, ∀m,n≥N, d(xm,xn)<ε\forall\varepsilon>0,\exists N,\ \forall m,n\ge N,\ d(x_m,x_n)<\varepsilon （番号を進めれば任意の2項が近い）。 すべてのコーシー列が収束する距離空間を完備という。

「収束する ⇒ コーシー」はいつでも成り立ちます（行き先に寄れば互いにも寄る、三角不等式）。 逆が問題で、それを保証するのが完備性。Rn\mathbb R^n は完備、Q\mathbb Q は不完備（→2\to\sqrt2 の列が穴に落ちる）。 関数空間 C[a,b]C[a,b] は上限距離で完備で、この事実が微分方程式の解の存在などを陰で支えます。

注意 コーシーは「隣が近い」ではない

xn=nx_n=\sqrt n は xn+1−xn→0x_{n+1}-x_n\to0 だが発散する。コーシーは「番号 NN 以降の任意の2項が近い」で、 隣接項だけの条件よりずっと強い。ここは第2章の数列でも触れた頻出の勘違い。

完備化：穴をすべて埋める

不完備な空間でも、足りない極限を全部付け加えて完備にできます。Q\mathbb Q に無理数を足して R\mathbb R を作る、 あの操作の一般化です。

定理 完備化の存在と一意性

任意の距離空間 XX に対し、XX を稠密に含む完備距離空間 X^\hat X（完備化）が、等長同型を除いて 一意に存在する。作り方は「XX のコーシー列たちを、収束先が同じものは同一視して、新しい点とみなす」。

発想が巧妙です。足りない極限そのものを、それに収束するコーシー列で“代理”する。 2\sqrt2 という点が無いなら、「2\sqrt2 に寄っていく有理数の列」を 2\sqrt2 の正体とみなしてしまう。 実数の一つの構成法（コーシー列による構成）がまさにこれで、完備化は「理想の点を列で定義する」 普遍的な手続きです。同じ精神は LpL^p 空間の構成（→測度論）などでも使われます。

ベールのカテゴリー定理

完備空間には、見た目より深い「豊かさ」があります。それを述べるのが、解析の3大定理 （→関数解析）の源になるベールの定理です。まず言葉を用意します。

定義 疎・痩せた集合

閉包が内部をもたない集合（＝どこでも“隙間だらけ”）を疎（そ）という。 疎な集合の可算和で書けるものを第一類（痩せた集合）という。

定理 ベールのカテゴリー定理

完備距離空間は、可算個の疎な集合の和では覆えない（＝それ自身は痩せていない）。 同値：完備空間で、稠密な開集合を可算個交わらせても、なお稠密。

直感は「完備な空間は“太っていて”、痩せた集合をいくら可算個かき集めても埋め尽くせない」。 一見地味ですが、破壊力は絶大です。

例 ベールの威力

「R\mathbb R は可算個の点で覆えない」（各点は疎）から R\mathbb R の非可算性が再証明できる。さらに 「いたるところ微分不可能な連続関数が“ほとんど”を占める」「関数解析の一様有界性原理・ 開写像定理・閉グラフ定理」——これらはすべてベールの定理が心臓部。完備性という“穴の無さ”が、 存在証明の強力なエンジンになる。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 完備性は距離に依存する。 同じ集合でも距離を変えれば完備／不完備が変わる（(0,1)(0,1) は通常距離で不完備だが、適当な距離で完備にできる）。位相だけの性質ではない。
  • 有界閉ならコンパクト、は一般の距離空間では成り立たない（次章）。完備＋全有界がコンパクトの正体。完備とコンパクトを混同しない。
  • ベールの定理は完備性が条件。不完備な空間（Q\mathbb Q）では成り立たない（Q\mathbb Q は可算個の点＝疎集合の和）。

この章のまとめ

  • 完備 ＝ コーシー列が必ず収束する ＝ 穴が無い。Rn\mathbb R^n や C[a,b]C[a,b] は完備、Q\mathbb Q は不完備。極限を安全に使うための土台。
  • 完備化は足りない極限をコーシー列で代理して付け加える普遍的手続き。Q→R\mathbb Q\to\mathbb R がその原型。
  • ベールのカテゴリー定理：完備空間は痩せた集合で覆えない。関数解析の3大定理や多くの存在証明のエンジン。

次章は、有限性の抽象化ともいえる最重要概念——コンパクト性へ進みます。