第12章計算とド・ラームの定理

微分形式のコホモロジーは、位相のコホモロジーと同じだった

前章でド・ラームコホモロジー $H^k_{\mathrm{dR}}$ ——微分形式で作った不変量——を定義しました。それがホモトピー不変（位相だけで決まる）と分かった時点で、驚くべき予感が生まれます。この解析的な不変量は、位相幾何で作った特異コホモロジーと、実は同じものではないか？

その通りです。ド・ラームの定理—— $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^k(M;\mathbb R)$ ——が、両者の完全な一致を保証します。「微分方程式を解いて閉形式を調べる（解析）」ことと、「三角形を貼って穴を数える（位相）」ことが、同じ答えを出す。微分幾何と位相幾何が一つになる、数学で最も美しい定理の一つです。この章では、具体的な計算（球面・トーラス）でド・ラームコホモロジーを求め、ド・ラームの定理を述べ、そして多様体論という分野が微積分・線形代数・位相幾何を統合して何を成し遂げたかを俯瞰して、締めくくります。

ド・ラームの定理 $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^k(M;\mathbb R)$ 。微分形式（解析）と特異コホモロジー（位相）が一致する。

マイヤー–ヴィートリスと計算

ド・ラームコホモロジーにも、位相幾何と同じ計算道具があります。

定理ド・ラームのマイヤー–ヴィートリス系列

$M=U\cup V$ （開集合）に対し、長完全系列 $\cdots\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)\to H^k_{\mathrm{dR}}(U)\oplus H^k_{\mathrm{dR}}(V)\to H^k_{\mathrm{dR}}(U\cap V)\xrightarrow{d^*}H^{k+1}_{\mathrm{dR}}(M)\to\cdots$ が存在する（形式を $U,V$ に制限し差をとる、 $1$ の分割で連結準同型を作る）。

位相幾何のマイヤー–ヴィートリスとまったく同じ形（ $\pi_1$ のファン・カンペンにも対応）。これで球面のコホモロジーが計算できます。

例球面とトーラスのド・ラームコホモロジー

球面 $S^n$ （ $n\ge1$ ）： $U,V$ を上下半球（可縮、ポアンカレの補題で $H^k=0$ 、 $k\ge1$ ）、 $U\cap V\simeq S^{n-1}$ でマイヤー–ヴィートリス帰納法（位相幾何の球面計算と同じ）： $H^k_{\mathrm{dR}}(S^n)=\begin{cases}\mathbb R&(k=0,n)\\0&(\text{その他})\end{cases}.$ $H^n(S^n)=\mathbb R$ の生成元は「体積形式」（積分すると $0$ でない、閉だが完全でない）。
トーラス $T^2$ ： $H^0=\mathbb R,\ H^1=\mathbb R^2,\ H^2=\mathbb R$ 。 $H^1$ の生成元は $d\theta_1,d\theta_2$ （ $2$ つの角度形式、閉だが完全でない＝経線・緯線方向の穴）。 $H^2$ は体積形式 $d\theta_1\wedge d\theta_2$ 。

計算結果は、位相幾何のホモロジー・コホモロジーと（実係数で）ぴったり一致します。 $S^n$ は $k=0,n$ で $\mathbb R$ 、 $T^2$ は $1,2,1$ ——ベッチ数そのもの。これが偶然でないことを保証するのがド・ラームの定理です。

ド・ラームの定理

定理ド・ラームの定理

なめらかな多様体 $M$ について、積分によるペアリング $([\omega],[c])\mapsto\int_c\omega$ が、自然な環同型 $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\ \cong\ H^k(M;\mathbb R)$ を与える（左辺は微分形式のコホモロジー、右辺は実係数特異コホモロジー）。ウェッジ積 $\wedge$ がカップ積 $\smile$ に対応する。

同型を与えるのは積分 $\int_c\omega$ ——閉形式 $\omega$ をサイクル $c$ の上で積分した値。ストークスの定理より、この値は $\omega$ を完全形式ずらしても、 $c$ を境界ずらしても変わらない（ $\int_{\partial S}\omega=\int_S d\omega=0$ ）。だから「閉形式の類」と「サイクルの類」のペアリングが well-defined で、それが同型を与える。「微分形式をサイクルの上で積分する」という解析の操作が、位相のコホモロジーと微分幾何のコホモロジーを結ぶ橋なのです。

注意ド・ラームの定理が意味すること

$H^k_{\mathrm{dR}}$ は微分方程式 $d\omega=0$ （解析）で定義され、 $H^k(M;\mathbb R)$ は三角形分割（位相）で定義される。全く違う出発点なのに同じ答え——「多様体の穴は、微分形式で調べても三角形で調べても同じ」。 $H^1\ne0$ は「閉だが完全でない $1$ 形式がある」（解析）＝「縮まないループがある」（位相）。 $H^n(S^n)=\mathbb R$ の生成元＝体積形式の積分が写像度を与える。解析・幾何・位相が、この定理で一つに縫い合わされる。

分野の全景：多様体論が統合したもの

多様体論は、これまでの分野を統合する“交差点”でした。締めくくりに、その全景を俯瞰します。

注意多様体論が結んだ糸

微積分：偏微分・全微分が接空間・微分 $df$ へ、ベクトル解析の $\operatorname{grad}/\operatorname{rot}/\operatorname{div}$ と積分定理が外微分 $d$ とストークスの定理へ。
線形代数：双対空間・多重線形・行列式がテンソル・微分形式へ。階数がはめ込み・沈め込みへ。
集合と位相：位相空間に微分構造を載せた。ウリゾーンの補題が $1$ の分割へ。
微分方程式：ベクトル場の流れ＝ODEの解。フロベニウスが可積分条件。
位相幾何：ド・ラームコホモロジー＝特異コホモロジー。ポアンカレ–ホップ＝毛玉の定理。
先へ：リーマン幾何（計量・曲率）、微分幾何（ガウス–ボンネ：曲率の積分＝χ）、リー群、複素幾何、シンプレクティック幾何、一般相対論。

「曲がった空間の上で微積分をやり直す」という素朴な出発点から、 $d^2=0$ （ $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0$ の抽象化）を核に、接空間・微分形式・ストークスの定理・ド・ラームコホモロジーという壮大な体系が育ちました。そしてストークスの定理 $\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega$ が、 $1$ 次元の微積分の基本定理から高次元の全積分定理までを一つに束ね、ド・ラームの定理が解析と位相を縫い合わせる。多様体は、現代幾何のすべてが出会う舞台なのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

ド・ラームの定理は実係数。 $H^k_{\mathrm{dR}}\cong H^k(M;\mathbb R)$ 。ねじれ（ $\mathbb Z/2$ 等）は微分形式では見えない（実ベクトル空間だから）。整数の情報は特異コホモロジーが必要。
同型を与えるのは積分 $\int_c\omega$ 。 ストークスで well-defined。ウェッジ積 ↔ カップ積。
ド・ラームコホモロジーは微分構造で作るが、答えは位相不変。 「解析で調べても位相で調べても穴は同じ」。
マイヤー–ヴィートリスで計算。 位相幾何と同じ道具。球面・トーラスのベッチ数を再現。

この章のまとめ

マイヤー–ヴィートリス系列（位相幾何と同じ）で計算： $H^k_{\mathrm{dR}}(S^n)=\mathbb R$ （ $k=0,n$ ）、 $T^2$ は $1,2,1$ 。生成元は体積形式・角度形式（閉だが完全でない）。
ド・ラームの定理 $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^k(M;\mathbb R)$ （積分 $\int_c\omega$ が同型、ストークスで well-defined、ウェッジ ↔ カップ）。微分形式（解析）と特異コホモロジー（位相）の一致。
多様体論は微積分・線形代数・位相幾何・微分方程式を統合し、リーマン幾何・微分幾何・リー群へ続く現代幾何の舞台。

これで多様体論は一区切りです。チャートとアトラスから始め、接空間・ベクトル場・微分形式・ストークスの定理・ド・ラームコホモロジーと辿り、「曲がった空間の上で微積分をやり直す」壮大な体系を組み上げました。ここで培った接空間・微分形式・コホモロジーの視点は、リーマン幾何学・微分幾何学・リー群・複素幾何へと受け継がれていきます。おつかれさまでした。

第12章 計算とド・ラームの定理