⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第4章 ファン・カンペンの定理

空間を分割して、基本群を組み立てる

π1(S1)=Z\pi_1(S^1)=\mathbb Z（前章）は計算できました。では、もっと複雑な空間——8の字（2つの穴）、トーラス、種数 gg の曲面——の 基本群は？ 一つ一つ持ち上げで計算するのは大変です。そこで、空間を単純な部分に分割し、部分の基本群から 全体を組み立てる定理が欲しくなります。それがファン・カンペンの定理です。

アイデアは群論の生成元と関係式そのものです。空間 XX を2つの開集合 U,VU,V の和に分けると、 π1(X)\pi_1(X) は π1(U)\pi_1(U) と π1(V)\pi_1(V) を「重なり U∩VU\cap V で貼り合わせた」群——融合積になる。U,VU,V の生成元を合わせ、 重なりで生じる関係を課す。空間を貼り合わせる操作が、群を貼り合わせる操作に翻訳されるのです。これで 円周の花束（自由群）、球面（単連結）、曲面（11 つの関係をもつ群）の基本群が一気に計算でき、群論と トポロジーが深く結びつきます。

ファン・カンペン：X=U∪VX=U\cup V なら π1(X)=π1(U)∗π1(U∩V)π1(V)\pi_1(X)=\pi_1(U)\ast_{\pi_1(U\cap V)}\pi_1(V)（融合積）。空間の貼り合わせ＝群の貼り合わせ。

自由積と融合積

まず、群を「貼り合わせる」演算を群論から用意します。

定義 自由積・融合積

群 G,HG,H の自由積 G∗HG\ast H は、G,HG,H の元を交互に並べた語からなる群（両者の間に関係を課さない、最も自由な合体）。 G,HG,H が共通の部分群 KK を（準同型 K→G, K→HK\to G,\ K\to H で）もつとき、KK の像を同一視した融合積 G∗KHG\ast_K H は、G∗HG\ast H を「KK の元が両側で一致する」関係で割った群。

自由積は「関係なしの合体」（直積と違い非可換）、融合積は「共通部分で貼り合わせた合体」。 生成元と関係式の言葉で、G=⟨SG∣RG⟩,H=⟨SH∣RH⟩G=\langle S_G\mid R_G\rangle,H=\langle S_H\mid R_H\rangle なら G∗KH=⟨SG,SH∣RG,RH, (K の同一視)⟩G\ast_KH=\langle S_G,S_H\mid R_G,R_H,\ (K\text{ の同一視})\rangle です。これが基本群の貼り合わせを記述します。

ファン・カンペンの定理

定理 ファン・カンペン（ザイフェルト–ファン・カンペン）の定理

X=U∪VX=U\cup V（U,VU,V 開、U,V,U∩VU,V,U\cap V が弧状連結、共通の基点 x0∈U∩Vx_0\in U\cap V）とする。包含の誘導準同型で π1(X,x0) ≅ π1(U,x0)∗π1(U∩V,x0)π1(V,x0).\pi_1(X,x_0)\ \cong\ \pi_1(U,x_0)\ast_{\pi_1(U\cap V,x_0)}\pi_1(V,x_0). すなわち π1(U),π1(V)\pi_1(U),\pi_1(V) の生成元を合わせ、U∩VU\cap V のループが UU 側・VV 側で表す元を等しいとする関係を課したもの。

証明

（要点。）XX 内の任意のループは、U∩VU\cap V を通るたびに区切って、UU 内の道と VV 内の道の連結に分解できる （コンパクト性による有限分割、ルベーグ数）。ゆえ π1(U),π1(V)\pi_1(U),\pi_1(V) の元で生成される（全射性）。ホモトピーも 同様に分解して、生じる関係が「U∩VU\cap V のループの UU 表示と VV 表示の一致」だけであることが示せる（融合積の普遍性）。∎

「ループを UU 部分と VV 部分に切り分け、重なりでの表し方をそろえる」。空間の被覆 U∪VU\cup V が、群の融合積に 翻訳される。証明の分割にはコンパクト性が効いています。具体例で威力を見ましょう。

計算例

例 円周の花束（8 の字）は自由群

nn 個の円周を一点で束ねた花束 ⋁nS1\bigvee^n S^1 の基本群は、nn 元生成の自由群 FnF_n。 （各円周が生成元 aia_i、関係は無い＝自由積 Z∗⋯∗Z\mathbb Z\ast\cdots\ast\mathbb Z。U∩VU\cap V が可縮なので融合が自明。） 8の字（n=2n=2）は F2=⟨a,b∣ ⟩F_2=\langle a,b\mid\ \rangle——非可換（ab≠baab\ne ba：2つの穴を回る順序が効く）。

例 球面は単連結

SnS^n（n≥2n\ge2）は U,VU,V を「北極を除く」「南極を除く」（ともに可縮な Rn\mathbb R^n に同相）でとると、U∩V≃Sn−1U\cap V\simeq S^{n-1} は n≥2n\ge2 で弧状連結。π1(U)=π1(V)={e}\pi_1(U)=\pi_1(V)=\{e\} ゆえ融合積も {e}\{e\}。すなわち π1(Sn)={e}\pi_1(S^n)=\{e\}（単連結、n≥2n\ge2）。 S1S^1 だけが例外（Z\mathbb Z）。

例 トーラスと種数 g の曲面

トーラス T2T^2 は正方形の対辺を貼り合わせた空間で、ファン・カンペンより π1(T2)=⟨a,b∣aba−1b−1⟩≅Z×Z (可換)\pi_1(T^2)=\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle\cong\mathbb Z\times\mathbb Z\ (\text{可換}) （11 面を貼る関係 aba−1b−1=1aba^{-1}b^{-1}=1 が「経線と緯線が可換」を与える）。種数 gg の曲面 Σg\Sigma_g は π1(Σg)=⟨a1,b1,…,ag,bg∣∏i=1g[ai,bi]⟩\pi_1(\Sigma_g)=\langle a_1,b_1,\dots,a_g,b_g\mid \textstyle\prod_{i=1}^g[a_i,b_i]\rangle （2g2g 個の生成元と 11 つの関係）。曲面の穴の数 gg が、基本群の生成元と関係に直接現れる。

トーラスの ⟨a,b∣aba−1b−1⟩\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle は、群論第12章のトーラスの基本群で予告した表示です。 穴の数（種数）という幾何が、生成元と関係式という代数に翻訳される。これらの基本群が互いに非同型なので （花束は非可換自由群、トーラスは可換、球面は自明）、これらの空間は互いにホモトピー同値でない——不変量で 形を区別する戦略が完成します。

注意 任意の群が基本群になる

逆に、任意の群 GG は、ある空間の基本群として実現できる（G=⟨S∣R⟩G=\langle S\mid R\rangle の表示から、SS 個の円周の花束に RR 個の円板を貼って空間を作る）。だから「基本群で空間を分類する」問題は、群論そのものと同じくらい豊か （そして群の同型判定が決定不能なので、空間の分類も一般には難しい）。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • ファン・カンペンは融合積（自由積とは限らない）。 重なり U∩VU\cap V が非自明な基本群をもつと、その分の関係が課される。U∩VU\cap V 可縮なら自由積。
  • 8の字の基本群は非可換な自由群 F2F_2。 トーラス（可換 Z2\mathbb Z^2）と混同しない。8の字は ab≠baab\ne ba、トーラスは関係 aba−1b−1=1aba^{-1}b^{-1}=1 で可換化。
  • SnS^n（n≥2n\ge2）は単連結、S1S^1 だけ Z\mathbb Z。 高次元球面のループは縮む。11 次元の穴が無い。
  • 開集合＋弧状連結が仮定。 U,V,U∩VU,V,U\cap V が弧状連結でないと定理が崩れる。基点を共有する。

この章のまとめ

  • ファン・カンペンの定理：X=U∪VX=U\cup V なら π1(X)=π1(U)∗π1(U∩V)π1(V)\pi_1(X)=\pi_1(U)\ast_{\pi_1(U\cap V)}\pi_1(V)（融合積）。空間の貼り合わせが群の貼り合わせに翻訳される。証明の分割にコンパクト性。
  • 計算：円周の花束 ⋁nS1\bigvee^nS^1 は自由群 FnF_n（8の字は非可換 F2F_2）、SnS^n（n≥2n\ge2）は単連結、トーラス Z2\mathbb Z^2、種数 gg の曲面は 2g2g 生成 11 関係。穴の数が基本群に現れる。
  • 任意の群が基本群になる（生成元と関係式から空間を作る）。トポロジーと群論が深く結びつく。

次章は、π1\pi_1 の理論の幾何的な裏側——被覆空間と、部分群とのガロア対応を扱います。