第5章被覆空間とガロア対応

基本群を、空間の階層として見る

前章までで基本群 $\pi_1(X)$ を計算しました。この章では、 $\pi_1(X)$ の幾何的な裏側——被覆空間の理論を見ます。円周の基本群の証明で、 $p:\mathbb R\to S^1$ （螺旋）という被覆を使いました。 $\mathbb R$ は $S^1$ を無限回巻きつく“ほどけた”空間で、そこへ持ち上げると計算が単純になった。この「空間をほどく」被覆の理論を一般化します。

そして、この章のハイライトはガロア対応です——空間 $X$ の被覆たちと、基本群 $\pi_1(X)$ の部分群たちが、 一対一に対応する。しかも「正規部分群 ↔ 正規被覆」「被覆変換群＝剰余群」と、体論・ガロア理論の基本定理と まったく同じ構造が現れる。中間体と部分群の対応（ガロア理論）が、被覆と部分群の対応（トポロジー）と鏡のように対応するのです。 $\pi_1$ が「トポロジーのガロア群」だと分かる、美しい章です。

被覆 ↔ $\pi_1$ の部分群の一対一対応（ガロア対応）。正規被覆 ↔ 正規部分群、被覆変換群＝剰余群。ガロア理論と同型の構造。

被覆写像と持ち上げ

定義被覆写像

連続な全射 $p:\tilde X\to X$ が被覆写像とは、各点 $x\in X$ に近傍 $U$ があって、 $p^{-1}(U)$ が $\tilde X$ 内の互いに交わらない開集合の和 $\bigsqcup_\alpha V_\alpha$ （各 $V_\alpha$ が $U$ に同相）になること。 $\tilde X$ を被覆空間という。

「各点の近傍の上に、 $\tilde X$ ではばらばらの“葉”が重なっている」。 $\mathbb R\to S^1$ なら、円周の弧の上に $\mathbb R$ の区間の列が乗る。被覆の要は、道とホモトピーが一意に持ち上がることです（前章の一般化）。

定理持ち上げの一意存在

被覆 $p:\tilde X\to X$ について：

道の持ち上げ： $X$ の道 $\gamma$ と始点の逆像 $\tilde x_0$ に対し、 $\tilde\gamma(0)=\tilde x_0$ の持ち上げ $\tilde\gamma$ が一意に存在。
ホモトピーの持ち上げ：道ホモトピーも一意に持ち上がる。ゆえ $p_*:\pi_1(\tilde X)\to\pi_1(X)$ は単射。
持ち上げ判定：写像 $f:Y\to X$ （ $Y$ 弧状連結・局所単連結）が $\tilde X$ へ持ち上がる $\iff f_*\pi_1(Y)\subseteq p_*\pi_1(\tilde X)$ 。

持ち上げ判定が、次のガロア対応の心臓です。「 $f$ が被覆へ持ち上がるか」が「基本群の部分群の包含」で決まる—— 幾何の問題が代数の包含関係に翻訳されます。

普遍被覆

被覆の中で最も“ほどけた”もの——単連結な被覆が、すべての被覆の頂点に立ちます。

定義普遍被覆

単連結な被覆空間 $\tilde X$ （ $\pi_1(\tilde X)=\{e\}$ ）を普遍被覆という。 $X$ が「良い」空間（弧状連結・局所単連結）なら普遍被覆が一意に存在し、他のすべての被覆を被覆する（頂点）。

$\mathbb R\to S^1$ の $\mathbb R$ が円周の普遍被覆（単連結）。普遍被覆は「 $X$ のループをすべてほどききった空間」で、その上では $\pi_1$ が消える。普遍被覆から、 $X$ の対称性——被覆変換群——が見えます。

被覆変換群

定義被覆変換群

被覆 $p:\tilde X\to X$ の被覆変換（デック変換）とは、 $p$ を保つ同相 $\varphi:\tilde X\to\tilde X$ （ $p\circ\varphi=p$ 、葉を葉へ移す）。被覆変換全体は群 $\mathrm{Deck}(\tilde X/X)$ をなす。

$\mathbb R\to S^1$ の被覆変換は「 $t\mapsto t+n$ （ $n\in\mathbb Z$ ）」＝整数だけずらす写像で、群は $\mathbb Z\cong\pi_1(S^1)$ 。一般に、普遍被覆の被覆変換群は基本群そのものになります。

定理普遍被覆の被覆変換群＝基本群

$\tilde X$ が $X$ の普遍被覆なら $\mathrm{Deck}(\tilde X/X)\cong\pi_1(X)$ 。 $X\cong\tilde X/\pi_1(X)$ （基本群の作用で割った商）。

「 $X$ ＝普遍被覆を基本群で割ったもの」。 $S^1=\mathbb R/\mathbb Z$ （実直線を整数で割る）がその原型です。基本群が、普遍被覆に 自由に作用する対称性の群として姿を現す—— $\pi_1$ の最も幾何的な意味です。

ガロア対応

いよいよ本章の頂点。 $X$ の被覆と $\pi_1(X)$ の部分群が、完全に対応します。

定理被覆空間のガロア対応

「良い」空間 $X$ （弧状連結・局所単連結）について、次の対応 $\big(\text{被覆 }p:\tilde X\to X\big)\ \longleftrightarrow\ \big(\text{部分群 }p_*\pi_1(\tilde X)\le\pi_1(X)\big)$ は、 $X$ の（基点つき連結）被覆の同型類と $\pi_1(X)$ の部分群の一対一対応を与える。さらに：

被覆の葉数 ＝部分群の指数 $[\pi_1(X):H]$ 。
普遍被覆 ↔ 自明部分群 $\{e\}$ 、 $X$ 自身 ↔ 全体 $\pi_1(X)$ （包含を逆にする）。
$H\trianglelefteq\pi_1(X)$ （正規部分群） $\iff$ 被覆が正規（ガロア）被覆。このとき $\mathrm{Deck}=\pi_1(X)/H$ 。

証明

（要点。）部分群 $H$ に対し、普遍被覆 $\tilde X$ を $H$ の作用で割った $\tilde X/H$ が対応する被覆。持ち上げ判定（前述）が対応の逆を与え、well-defined と全単射を保証する。指数＝葉数は、被覆のファイバー $p^{-1}(x_0)$ が剰余類 $\pi_1(X)/H$ と対応することから。正規性の部分は被覆変換群の推移性と結びつく。∎

これはガロア理論の基本定理の完全な鏡像です。対応表を並べると一目瞭然：

注意ガロア理論との対応

トポロジー（被覆）	体論・ガロア理論（体の拡大）
被覆 $\tilde X\to X$	中間体 $K\subseteq F\subseteq L$
部分群 $H\le\pi_1(X)$	部分群 $H\le\mathrm{Gal}(L/K)$
普遍被覆 ↔ $\{e\}$	分解体 $L$ ↔ $\{e\}$
$X$ ↔ $\pi_1(X)$	基礎体 $K$ ↔ $\mathrm{Gal}$ 全体
葉数＝指数	拡大次数＝指数
正規被覆 ↔ 正規部分群	ガロア中間体 ↔ 正規部分群
被覆変換群 $=\pi_1/H$	$\mathrm{Gal}(F/K)=G/H$

$\pi_1(X)$ は「トポロジーのガロア群」。空間をほどく（被覆）ことと、体を広げる（拡大）ことが、同じ群論的構造で支配されている。数学の異なる分野に同じパターンが宿る——圏論が捉えようとする普遍性の一例。

つまずきポイント

注意よくある誤解

被覆 ↔ 部分群（包含を逆に）。 大きい被覆（葉が多い）↔ 小さい部分群。普遍被覆 ↔ $\{e\}$ 。ガロア対応と同じ向き。
葉数＝指数。 $n$ 重被覆 ↔ 指数 $n$ の部分群。 $\mathbb R\to S^1$ は無限重（ $\{e\}\le\mathbb Z$ 、指数 $\infty$ ）。
正規被覆 ↔ 正規部分群、 $\mathrm{Deck}=\pi_1/H$ 。 ガロア理論の $\mathrm{Gal}(F/K)=G/H$ と同型。
普遍被覆は単連結。 すべてのループをほどいた空間。 $X=\tilde X/\pi_1(X)$ 。「良い」空間で存在。

この章のまとめ

被覆写像は道・ホモトピーを一意に持ち上げ、 $p_*:\pi_1(\tilde X)\to\pi_1(X)$ は単射。持ち上げ判定（ $f_*\pi_1(Y)\subseteq p_*\pi_1(\tilde X)$ ）が幾何を代数に翻訳。
普遍被覆（単連結）は $X$ のループをほどききった空間で、その被覆変換群＝基本群、 $X=\tilde X/\pi_1(X)$ （ $S^1=\mathbb R/\mathbb Z$ ）。
ガロア対応：被覆 ↔ $\pi_1$ の部分群（葉数＝指数、正規被覆 ↔ 正規部分群、 $\mathrm{Deck}=\pi_1/H$ ）。ガロア理論と同型の構造で、 $\pi_1$ は「トポロジーのガロア群」。

ホモトピー論を終え、次章からホモロジー論——各次元の穴を数える、より計算しやすい不変量に進みます。

第5章 被覆空間とガロア対応