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第7章 定性理論 — 平衡点・相図・安定性

解けなくても、運命は読める

ほとんどの非線形微分方程式は、解を式で書けません。でも、私たちが本当に知りたいのは解の式ではなく、 振る舞いであることが多い——「この系は平衡に落ち着くのか、振動するのか、発散するのか？」 「初期のわずかなズレは、時間とともに消えるのか、増幅されるのか（安定か不安定か）？」

これらは、解を求めずに答えられます。それが定性理論です。鍵は2つ。第一に平衡点（変化が止まる点）を見つけ、 その近くで系を線形化する。第二に、線形系を固有値で分類し、平衡点の型（結節点・鞍点・渦状点・ 中心）と安定性を読む。ここで前章の etAe^{tA}と線形代数の固有値が、力学系の運命を 決める道具として結実します。相図（各点の速度ベクトルの場）を描けば、系全体の流れが一目で見える。 「変化の法則から、解かずに未来の質を読む」——微分方程式論の最も実用的な視点です。

平衡点で系を線形化し、固有値で分類（結節点・鞍点・渦状点・中心）。Re⁡λ<0\operatorname{Re}\lambda<0 なら安定。相図で流れを読む。

自励系と平衡点

定義 自励系・平衡点

時間 tt を陽に含まない系 x′=f(x)\mathbf x'=\mathbf f(\mathbf x) を自励系という。f(x∗)=0\mathbf f(\mathbf x_*)=\mathbf 0 となる点 x∗\mathbf x_* を 平衡点（不動点）という——そこでは速度が 00 で、系は止まったまま。

平衡点は「系が静止できる状態」。振り子なら真下（安定）と真上（不安定）。関心は「平衡点の近くで、系はどう振る舞うか」 ——平衡へ戻るか（安定）、離れていくか（不安定）です。それを調べるには、平衡点の近くで系を線形近似します。

線形化

定理 平衡点での線形化

x′=f(x)\mathbf x'=\mathbf f(\mathbf x) の平衡点 x∗\mathbf x_* の近くで、u=x−x∗\mathbf u=\mathbf x-\mathbf x_* とおくと、テイラー展開より u′≈Ju,J=Df(x∗)=(∂fi∂xj) (ヤコビ行列).\mathbf u'\approx J\mathbf u,\qquad J=D\mathbf f(\mathbf x_*)=\Big(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\Big)\ (\text{ヤコビ行列}). 平衡点の局所的な振る舞いは、線形系 u′=Ju\mathbf u'=J\mathbf u の固有値で（おおむね）決まる。

平衡点のまわりでは、非線形系がヤコビ行列 JJ による線形系に近似される（微積分の全微分＝最良の線形近似）。 だから線形系の分類（次節）が、非線形系の平衡点の分類に転用できます。この正当化が次の定理です。

注意 ハルトマン–グロブマンの定理

平衡点が双曲的（JJ の固有値の実部がすべて ≠0\ne0）なら、非線形系は平衡点の近傍で線形化 u′=Ju\mathbf u'=J\mathbf u と 位相共役（連続変形で移り合う）。すなわち線形化が局所的な振る舞いを正しく捉える。中心（実部 00）だけは 線形化で判定できず、非線形項が効く（次章のリアプノフが要る）。

相図と固有値による分類

22 次元線形系 x′=Ax\mathbf x'=A\mathbf x の平衡点（原点）は、AA の固有値で完全に分類されます。前章の etA=∑cieλitvie^{tA}=\sum c_ie^{\lambda_it}\mathbf v_i を思えば当然——各モードが eλite^{\lambda_it} で成長/減衰/振動するからです。

定理 2 次元線形系の分類

AA の固有値を λ1,2\lambda_{1,2}、トレース T=tr⁡AT=\operatorname{tr}A、行列式 D=det⁡AD=\det A、判別式 Δ=T2−4D\Delta=T^2-4D とすると：

  • D<0D<0（実固有値・異符号）：鞍点（saddle、不安定）。
  • D>0, Δ>0D>0,\ \Delta>0（実固有値・同符号）：結節点（node）。T<0T<0 なら安定、T>0T>0 なら不安定。
  • D>0, Δ<0D>0,\ \Delta<0（複素固有値）：渦状点（spiral）。T<0T<0 なら安定、T>0T>0 なら不安定。T=0T=0 なら中心（center、周回）。

下で体感してください。行列 AA のスライダーを動かすと、ベクトル場と軌道が変わり、固有値と平衡点の型が判定されます。 D<0D<0 で鞍点（軌道が双曲線）、D>0D>0 で複素固有値だと渦を巻き、TT の符号で内向き（安定）か外向き（不安定）かが 決まる——固有値の実部が「収束/発散」、虚部が「振動」を支配するのが見えます。

A =

「実部 <0<0（左半平面）なら原点へ吸い込まれ、>0>0（右半平面）なら発散、虚部があれば渦を巻く」。eλt=e(α+iβ)t=eαt(cos⁡βt+isin⁡βt)e^{\lambda t}=e^{(\alpha+i\beta)t}= e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)——実部 α\alpha が振幅の成長/減衰、虚部 β\beta が振動を与える（オイラーの公式）。 固有値の位置と力学の運命が、この一つの式で結ばれます。

安定性

定義 安定性

平衡点 x∗\mathbf x_* がリアプノフ安定：近くから始めた解はずっと近くに留まる。漸近安定：さらに t→∞t\to\infty で x∗\mathbf x_* に収束する。どちらでもないとき不安定。

定理 線形化による安定性判定

双曲的平衡点について：ヤコビ行列 JJ の全固有値の実部が負なら漸近安定、実部が正の固有値が一つでもあれば不安定。

例 振り子

減衰振り子 θ′′+cθ′+sin⁡θ=0\theta''+c\theta'+\sin\theta=0（c>0c>0）を系 (θ,ω)(\theta,\omega) で見る。平衡点は θ=0\theta=0（真下）と θ=π\theta=\pi（真上）。 真下でのヤコビ行列の固有値は実部 <0<0（渦状点・安定：振動しながら真下へ）、真上では実固有値が異符号（鞍点・不安定）。 「振り子は真下に落ち着き、真上では倒れる」という直感が、固有値で厳密に説明される。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 安定性は固有値の実部で決まる（双曲的なら）。 全固有値の実部 <0<0 で漸近安定。一つでも実部 >0>0 なら不安定。虚部は振動を与えるだけ。
  • 中心（純虚固有値）は線形化で判定不能。 実部 00（非双曲）なので、非線形項次第で安定にも不安定にもなる。次章のリアプノフが要る。
  • リアプノフ安定と漸近安定は違う。 中心は「近くに留まる（リアプノフ安定）」が「収束しない（漸近安定でない）」。
  • 鞍点は D=det⁡A<0D=\det A<0。 固有値が異符号。安定方向と不安定方向が交差する。

この章のまとめ

  • 平衡点 f(x∗)=0\mathbf f(\mathbf x_*)=\mathbf 0 の近くで系を線形化（ヤコビ行列 JJ）。双曲的ならハルトマン–グロブマンで線形化が局所的振る舞いを正しく捉える。
  • 22 次元線形系は固有値で分類：D<0D<0 鞍点、D>0,Δ>0D>0,\Delta>0 結節点、D>0,Δ<0D>0,\Delta<0 渦状点、T=0T=0 で中心。Re⁡λ\operatorname{Re}\lambda が収束/発散、Im⁡λ\operatorname{Im}\lambda が振動。
  • 安定性：全固有値の実部が負なら漸近安定、正の実部があれば不安定。中心は線形化で判定できず非線形項が効く。

次章は、線形化が効かない場合（中心など）にも使える強力な安定性判定——リアプノフの方法を扱います。