第5章ベクトル場と流れ

多様体の上の「風」と、それに流される点

前章で各点の接ベクトルを定義しました。多様体のすべての点に、なめらかに接ベクトルを割り当てると、ベクトル場——多様体の上の「風」や「流れ」——になります。風速の場、電磁場、流体の速度場。そして、その風に流されて点が動く軌跡が流れです。

これは微分方程式の幾何的な姿です。ベクトル場 $X$ が「各点で進む向き」を指定し、それに沿って動く曲線（積分曲線）が、常微分方程式 $\dot\gamma=X(\gamma)$ の解。微分方程式の方向場・相図を、曲がった多様体の上で行うのです。この章の締めくくりは、多様体論で最も有名な定理の一つ毛玉の定理—— 「球面の毛はきれいに撫でつけられない」（球面上のベクトル場は必ず零点をもつ）。そしてそれが位相幾何のオイラー標数で完全に説明される（ポアンカレ–ホップ）——幾何と位相が出会う名場面です。

ベクトル場＝各点の接ベクトルの場（多様体上の風）。流れは積分曲線（微分方程式の解）。毛玉の定理でベクトル場の零点が $\chi$ と結びつく。

ベクトル場

定義ベクトル場

多様体 $M$ のベクトル場とは、各点 $p$ に接ベクトル $X_p\in T_pM$ をなめらかに割り当てる対応（接束 $TM$ の切断）。チャートで $X=\sum_i a^i(x)\dfrac{\partial}{\partial x^i}$ （成分 $a^i$ が $x$ のなめらかな関数）。関数 $f$ に作用して $X(f)=\sum_i a^i\dfrac{\partial f}{\partial x^i}$ （ $X$ 方向の微分）。

ベクトル場は「各点に矢印をなめらかに生やしたもの」であり、同時に「各点で方向微分する作用素」。この風に流される点の軌跡が、積分曲線です。

積分曲線と流れ

定義積分曲線・流れ

ベクトル場 $X$ の積分曲線とは、 $\dot\gamma(t)=X(\gamma(t))$ （各点で速度が $X$ に一致）を満たす曲線 $\gamma$ 。初期点 $p$ からの積分曲線を $\theta_t(p)$ と書き、 $\theta_t:M\to M$ を $X$ の流れ（フロー）という。

定理流れの存在と1径数群

なめらかなベクトル場 $X$ の各点からの積分曲線は、局所的に一意に存在する（ピカール–リンデレフ）。流れは1径数変換群の性質 $\theta_0=\mathrm{id}$ 、 $\theta_{s+t}=\theta_s\circ\theta_t$ をもつ。 $M$ がコンパクトなら流れは全時間 $t\in\mathbb R$ で定義される（完備）。

証明

チャートで $\dot\gamma=X(\gamma)$ は $\mathbb R^n$ の常微分方程式。 $X$ なめらかゆえリプシッツで、ピカール–リンデレフより局所解が一意存在。 $\theta_{s+t}=\theta_s\circ\theta_t$ は解の一意性から（ $X$ が時間に依らない自励系ゆえ、時刻をずらしても同じ流れ）。コンパクトなら解が有限時間で境界へ逃げられず全時間存在（解の延長）。∎

「ベクトル場が生む流れ」は、微分方程式の存在定理そのものです。 $\theta_{s+t}=\theta_s\circ\theta_t$ （時間を足すと流れを合成）は、流れが時間による対称性の群（ $\mathbb R$ の作用）であることを意味します——リー群の $1$ 径数部分群につながる構造。多様体の各点が、風に乗って時間とともに流れていく。

例流れの例

$\mathbb R^2$ で $X=-y\,\partial_x+x\,\partial_y$ （回転場）：積分曲線は原点中心の円、流れ $\theta_t$ は角 $t$ の回転。原点が唯一の零点。
球面 $S^2$ で「北極から南極へ流れる」場：積分曲線は経線、流れは北極から湧き出し南極へ吸い込まれる。両極が零点。

毛玉の定理とポアンカレ–ホップ

ベクトル場の零点（ $X_p=0$ 、流れが止まる点）は、多様体の位相と深く結びつきます。球面ではこれが劇的です。

定理毛玉の定理

偶数次元球面 $S^{2n}$ （とくに $S^2$ ）上のなめらかなベクトル場は、必ず零点をもつ。「球面の毛をつむじなく撫でつけることはできない」。（奇数次元 $S^{2n+1}$ では零点のない場が作れる。）

下で体感してください。球面 $S^2$ にどんな接ベクトル場（毛の撫でつけ方）を与えても、上下の**極（零点）**が消えません。場を切り替えたり回したりしても、零点は消えないのです。

場回転

なぜ消えないのか。その答えが、幾何（ベクトル場の零点）と位相（オイラー標数）を結ぶ、次の美しい定理です。

定理ポアンカレ–ホップの定理

コンパクト多様体 $M$ 上の、孤立零点をもつベクトル場について、零点の指数の総和はオイラー標数に等しい： $\sum_{p:\,X_p=0}\operatorname{ind}_p(X)=\chi(M).$ （指数 $\operatorname{ind}_p$ ＝零点の周りでベクトル場が原点を回る巻き数。）

$S^2$ では $\chi(S^2)=2\ne0$ （位相幾何・オイラー標数）。だから零点の指数の和は $2$ ——零点が無ければ和は $0$ になってしまい矛盾。ゆえ球面のベクトル場は必ず零点をもつ（毛玉の定理）。上のインタラクティブの「湧き出し（指数 $+1$ ）＋吸い込み（指数 $+1$ ）＝ $2$ 」がまさにこれです。一方トーラスは $\chi(T^2)=0$ なので、零点のないベクトル場（一様な流れ）が作れる——ドーナツの毛は撫でつけられる。位相不変量が、なめらかなベクトル場の振る舞いを支配する——微分位相幾何の写像度・ガウス–ボンネへと続く、幾何と位相の深い結びつきの原型です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

ベクトル場＝接束の切断（各点になめらかに接ベクトル）。 同時に「方向微分の作用素」。積分曲線は微分方程式の解。
流れは $1$ 径数群 $\theta_{s+t}=\theta_s\circ\theta_t$ 。 時間による対称性。コンパクトなら完備（全時間定義）。
毛玉の定理は偶数次元球面。 $S^2$ は零点必須、 $S^1,S^3$ は零点なしの場が作れる。 $\chi$ の偶奇でなく $\chi\ne0$ が本質。
零点の指数の和＝ $\chi$ （ポアンカレ–ホップ）。 幾何（零点）と位相（オイラー標数）を結ぶ。 $\chi\ne0$ なら零点が必ずある。

この章のまとめ

ベクトル場は各点に接ベクトルをなめらかに割り当てる（接束の切断、多様体上の風）。その積分曲線・流れは微分方程式の解で、流れは** $1$ 径数変換群**（コンパクトなら完備）。
毛玉の定理：偶数次元球面のベクトル場は必ず零点をもつ。「球面の毛は撫でつけられない」。
ポアンカレ–ホップの定理：零点の指数の和＝オイラー標数 $\chi(M)$ 。 $\chi(S^2)=2\ne0$ が毛玉の定理を、 $\chi(T^2)=0$ がトーラスの零点なし場を説明。幾何と位相の結びつき。

次章は、 $2$ つのベクトル場の“交わり方”——リー括弧とフロベニウスの定理を扱います。

第5章 ベクトル場と流れ