第8章不確定性原理

時間と振動数は、同時に絞れない

短く鋭いパルス（時間で局在）を考えます。第5章の演算規則を思い出すと、 $f$ を時間方向に縮める（ $f(ax)$ 、 $a$ 大）と、変換は $\frac1{|a|}\hat f(\xi/a)$ ——振動数方向に広がる。逆に、純粋な単一振動数の波（振動数で局在）は、時間方向に無限に広がる（永遠に続くサイン波）。つまり、時間でも振動数でも同時に鋭くすることはできない。片方を絞れば、他方が必ず広がる。

これは技術の未熟さではなく、フーリエ変換に内在する原理的な限界です。音楽で「一瞬の音」ほど音高があいまいになる、量子力学で「位置」と「運動量」が同時に確定しない——すべて同じ数学的事実の顔です。まず体感しましょう。

時間の幅 σ ＝ 1.00

時間の幅 $\sigma$ を小さくすると（時間で鋭く）、振動数側 $\hat f$ は広がります。逆も同様。二つの広がりの積 $\Delta t\cdot\Delta\omega$ は、どう動かしても $\frac12$ で一定——これが不確定性原理の下限で、ガウス関数はそれをちょうど達成します。

時間で鋭い信号は振動数で広がる。広がりの積 $\Delta t\cdot\Delta\omega$ には下限があり、同時にゼロにできない。

広がりを測る——分散

「関数の広がり」を定量化します。 $|f|^2$ を（規格化した）分布とみなし、その標準偏差を広がりとします（確率論の分散と同じ発想）。 $f$ の中心を $0$ としておきます。

定義時間・振動数の広がり

$\|f\|_2=1$ と規格化し、

(\Delta t)^2=\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,dx,\qquad (\Delta\omega)^2=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \xi^2|\hat f(\xi)|^2\,d\xi

を時間の広がり・振動数の広がりという（ $|f|^2,|\hat f|^2$ の分散）。

不確定性原理（定量版）

定理ハイゼンベルクの不確定性原理

$\|f\|_2=1$ （適切な減衰をもつ）なら

\Delta t\cdot\Delta\omega\ \ge\ \frac12.

等号が成り立つのは $f$ がガウス関数のときに限る。

証明

鍵は「微分↔ $i\xi$ 倍」（第5章）とプランシュレル（第7章）。 $\Delta\omega$ は振動数側の重み付き積分だが、規則 $\widehat{f'}=i\xi\hat f$ とプランシュレルにより時間側に引き戻せる： $(\Delta\omega)^2=\int|f'(x)|^2dx$ 。次にコーシー–シュワルツ（関数解析）を $xf$ と $f'$ に当てる：

\Big|\int x f(x)\overline{f'(x)}\,dx\Big|\le\Big(\int x^2|f|^2\Big)^{1/2}\Big(\int|f'|^2\Big)^{1/2}=\Delta t\cdot\Delta\omega.

左辺の実部は、部分積分より $\operatorname{Re}\int xf\overline{f'}=\frac12\int x(|f|^2)'=-\frac12\int|f|^2=-\frac12$ （境界項は減衰で消える、 $\|f\|_2=1$ ）。よって $\Delta t\cdot\Delta\omega\ge\frac12$ 。等号はコーシー–シュワルツの等号条件 $f'=cxf$ 、すなわち $f(x)=e^{cx^2/2}$ （ガウス）のとき。∎

証明の美しさを味わってください。フーリエ解析の道具——微分↔掛け算（第5章）、プランシュレル（第7章）、そして関数解析のコーシー–シュワルツ——が三つ揃って、原理的限界が導かれます。等号を達成するのがガウスなのは、上のデモで積が常に $\frac12$ ちょうどだった理由。ガウスは「時間と振動数に最もバランスよく局在した」唯一の形なのです。

量子力学との一致

この定理は、量子力学のハイゼンベルクの不確定性原理そのものです。翻訳辞書はこうです。

注意位置と運動量の不確定性

\Delta x\cdot\Delta p\ \ge\ \frac\hbar2

——位置と運動量を同時に確定できない、という物理法則になる。関数解析第12章で「観測量＝自己共役作用素」と述べたが、位置作用素 $x\cdot$ と運動量作用素 $\frac\hbar i\frac{d}{dx}$ が交換しない （ $[x,p]=i\hbar$ ）ことの帰結。不確定性は、フーリエ変換が位置基底と運動量基底を結ぶことの数学的必然。

物理の根本原理が、フーリエ変換の一性質として自然に出てくる。抽象的に積み上げた解析が、世界の仕組みを言い当てている——フーリエ解析の射程の広さを示す好例です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

不確定性は測定の未熟さでない。 フーリエ変換に内在する原理的限界。どんな信号・粒子にも成り立つ数学的事実。
「広がり」は分散（標準偏差）で測る。 $|f|^2$ の広がり。ピークの高さや台の幅とは別の、確率論的なものさし。
等号はガウスだけ。 ガウスが「最も局在した」最適な形。他の関数では積が $\frac12$ より大きい（もっと広がる）。
積に下限があるだけで、片方は絞れる。 時間をいくらでも鋭くできる——ただしその代償に振動数が必ず広がる。ゼロにできないのは積。

この章のまとめ

不確定性原理 $\Delta t\cdot\Delta\omega\ge\frac12$ ：時間の広がりと振動数の広がりを同時にゼロにできない。片方を絞れば他方が広がる。フーリエ変換に内在する原理的限界。
証明は微分↔掛け算（第5章）＋プランシュレル（第7章）＋コーシー–シュワルツ（関数解析）。等号を達成するのはガウス関数のみ（最も局在した形）。
量子力学の位置–運動量の不確定性 $\Delta x\Delta p\ge\frac\hbar2$ と同一。位置作用素と運動量作用素が交換しないことの帰結。
次章では、変換の演算規則（微分↔掛け算）を武器に、フーリエ変換で微分方程式——とくに熱方程式——を解きます。

次章では、フーリエ変換が微分を掛け算に変える性質を使って、熱方程式などの偏微分方程式を実際に解きます。

第8章 不確定性原理