⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

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第6章 リー括弧とフロベニウスの定理

2つの流れは、順番を変えても同じ場所に着くか

22 つのベクトル場 X,YX,Y があり、それぞれの流れに沿って動けるとします。「まず XX の流れで少し、次に YY の流れで 少し」動いた先と、「まず YY、次に XX」動いた先は、同じ場所でしょうか？ 平らな空間なら同じ（平行移動は可換）。 でも曲がった空間や絡み合ったベクトル場では、着く場所がずれることがあります。

このずれを測るのがリー括弧 [X,Y][X,Y]——それ自身が新しいベクトル場で、22 つの流れの「非可換性」を捉えます。 [X,Y]=0[X,Y]=0 なら流れは可換（順番を変えても同じ場所）。この括弧が、11 組のベクトル場が「面（部分多様体）を 織りなすか」を判定するフロベニウスの定理の鍵になります。制御理論（到達可能性）・リー群（リー環）・ 偏微分方程式（可積分条件）で中心的な、幾何の非可換性を測る道具です。

リー括弧 [X,Y]=XY−YX[X,Y]=XY-YX は 22 流れの非可換性を測るベクトル場。[X,Y]=0[X,Y]=0 で流れが可換。フロベニウス：分布が可積分   ⟺  \iff 括弧で閉じる。

リー括弧

ベクトル場は関数への微分作用素でした（第5章）。22 つを合成した XYXY は 22 階微分で作用素ですが、 差 XY−YXXY-YX は 22 階の項が打ち消し合い、11 階の微分作用素＝ベクトル場になります。

定義 リー括弧

ベクトル場 X,YX,Y のリー括弧 [X,Y][X,Y] を、関数への作用 [X,Y](f)=X(Y(f))−Y(X(f))[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)) で定める。これは （22 階微分の項が消えて）11 階の微分作用素＝ベクトル場。チャートでは [X,Y]k=∑i(Xi∂iYk−Yi∂iXk)[X,Y]^k=\sum_i\big(X^i\partial_iY^k-Y^i\partial_iX^k\big)。

リー括弧は反対称 [X,Y]=−[Y,X][X,Y]=-[Y,X]、そしてヤコビ恒等式 [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0 を満たします。 これらはリー環の公理そのもの——ベクトル場全体は無限次元のリー環をなします。 括弧の幾何的意味は、流れの非可換性です。

定理 リー括弧と流れの可換性

X,YX,Y の流れを θt,ψs\theta_t,\psi_s とすると、[X,Y]=0  ⟺  [X,Y]=0\iff 流れが可換 θt∘ψs=ψs∘θt\theta_t\circ\psi_s=\psi_s\circ\theta_t（すべての s,ts,t）。 一般に、[X,Y][X,Y] は「XX で tt、YY で tt、XX で逆に tt、YY で逆に tt 動いたときの t2t^2 次のずれ」を測る。

「XYX−1Y−1XYX^{-1}Y^{-1} の流れで元に戻らないずれ」が [X,Y][X,Y]。群論の交換子 xyx−1y−1xyx^{-1}y^{-1}の、流れ版です。 非可換性が括弧に凝縮される。関連して、YY を XX の流れで“引き戻して”微分するのがリー微分です。

定義 リー微分

ベクトル場 YY の XX に沿ったリー微分 LXY=[X,Y]\mathcal L_XY=[X,Y]。XX の流れで運んだ YY の、時間微分。 一般のテンソル場 TT にも LXT=ddt∣0(θt∗T)\mathcal L_XT=\dfrac{d}{dt}\big|_0(\theta_t^*T)（流れによる引き戻しの微分）で拡張される。 「XX の流れに沿って TT がどれだけ変化するか」を、接続なしで測る微分。

分布とフロベニウスの定理

各点で「接空間の一部（kk 次元の部分空間）」を指定したものが分布です。それが部分多様体の接空間になるか（可積分か）を、 リー括弧が判定します。

定義 分布・可積分・対合的

MM の各点 pp に TpMT_pM の kk 次元部分空間 DpD_p をなめらかに割り当てたものを分布という。DD が 可積分とは、各点を通る kk 次元部分多様体（積分多様体）で、その接空間が DD に一致するものがあること。 DD が対合的（involutive）とは、DD に属す任意のベクトル場 X,YX,Y のリー括弧 [X,Y][X,Y] も DD に属すこと。

「分布 DD が可積分」＝「DD の方向に張られる面（積分多様体）で、多様体が層状に葉分けされる」。それが成り立つ条件を、 フロベニウスが完全に決定しました。

定理 フロベニウスの定理

分布 DD が可積分   ⟺  \iff 対合的（リー括弧で閉じる、[X,Y]∈D[X,Y]\in D）。

証明

（⇒\Rightarrow）積分多様体があれば、DD の場 X,YX,Y は積分多様体に接し、その括弧も積分多様体に接する（積分多様体上の ベクトル場の括弧）ので [X,Y]∈D[X,Y]\in D。（⇐\Leftarrow）対合的なら、DD の局所的な基底ベクトル場を「互いに括弧が 00 になる」 座標場 ∂/∂x1,…,∂/∂xk\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^k にとれる（可換な流れで座標を作る）。すると {xk+1=\{x^{k+1}= 定数,… },\dots\} が積分多様体。∎

「リー括弧で閉じる（対合的）  ⟺  \iff 面に貼り合わせられる（可積分）」。kk 個の方向を指定したとき、それらが本当に kk 次元の面を織りなすには、方向どうしの非可換性（括弧）がその方向の中に収まっている必要がある——括弧が 外へはみ出すと、動き回るうちに kk 次元からはみ出て面にならない。フロベニウスは、この可積分性の判定を リー括弧という計算可能な条件に翻訳します。

例 フロベニウスの応用

  • 偏微分方程式の可積分条件：連立11階PDE ∂iu=fi(x,u)\partial_iu=f_i(x,u) が解 uu をもつ条件（両立性 ∂jfi=∂ifj\partial_jf_i=\partial_if_j 込み）が、 対応する分布の対合性＝フロベニウス条件。微分方程式の完全形 My=NxM_y=N_xの一般化。
  • 制御理論：制御ベクトル場の括弧が張る分布が全体なら、任意の状態に到達可能（チョウ–ラシェフスキー）。「ハンドルと アクセルの括弧」で車庫入れ（横移動）ができる——非可換性が新しい方向を生む。
  • 接触幾何：対合的でない（最大限に非可積分な）分布が接触構造。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • リー括弧はベクトル場（22 階の項が消える）。 XYXY は作用素だがベクトル場でない。差 XY−YXXY-YX で 11 階になる。非可換性の測度。
  • [X,Y]=0  ⟺  [X,Y]=0\iff 流れが可換。 順番を変えても同じ場所。座標場 ∂/∂xi\partial/\partial x^i どうしは可換（[∂i,∂j]=0[\partial_i,\partial_j]=0）。
  • フロベニウス：可積分   ⟺  \iff 対合的。 分布が面になる条件が、括弧で閉じること。括弧が外へはみ出すと面にならない。
  • リー微分は接続を要さない。 流れによる引き戻しの微分。共変微分（接続）とは別物。

この章のまとめ

  • リー括弧 [X,Y]=XY−YX[X,Y]=XY-YX はベクトル場で、22 流れの非可換性を測る（[X,Y]=0  ⟺  [X,Y]=0\iff 流れが可換）。反対称＋ヤコビ恒等式でリー環をなす。リー微分 LX=[X,⋅]\mathcal L_X=[X,\cdot]。
  • 分布（各点の kk 次元部分空間）が可積分（面に葉分け）  ⟺  \iff 対合的（リー括弧で閉じる）——フロベニウスの定理。
  • 応用：偏微分方程式の可積分条件、制御理論の到達可能性、接触・シンプレクティック幾何。非可換性が幾何を支配する。

次章は、多様体の上で「積分するもの」——テンソル場と微分形式を導入します。