⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

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第7章 テンソル場と微分形式

「積分できるもの」の正体

微積分で ∫f dx\int f\,dx、∫F⋅dr\int\mathbf F\cdot d\mathbf r、∬F⋅dS\iint\mathbf F\cdot d\mathbf S と積分してきました。曲がった多様体の上で 積分をやり直すには、「積分される対象」の正体を突き止める必要があります。答えは——微分形式。dx, dx∧dydx,\ dx\wedge dy の ような、座標変換のもとで正しく振る舞い、向きを込みで測る量です。

微分形式は、より広いテンソルの一種です。テンソルは「多重線形な量」——線形代数の双対空間・多重線形性を 多様体の各点に貼り付けたもの。物理の応力・慣性・曲率もテンソルです。そのうち交代的（反対称）なテンソルが 微分形式で、線形代数の行列式（交代多重線形）の精神を受け継ぎます。ウェッジ積 ∧\wedge で階数を 上げていくこの外積代数が、次章の外微分 dd、そしてストークスの定理の舞台になります。「積分できるもの」の 代数を、この章で組み立てます。

微分形式 ＝ 交代的な（反対称の）テンソル場。dxidx^i をウェッジ積 ∧\wedge でつないだもの。多様体の上で積分できる量。

テンソル場

まず、一般のテンソルを定義します。接ベクトルと余接ベクトルの多重線形な組み合わせです。

定義 テンソル・テンソル場

点 pp での (r,s)(r,s) 型テンソルとは、rr 個の余接ベクトル Tp∗MT_p^*M と ss 個の接ベクトル TpMT_pM を受け取り数を返す 多重線形写像。各点になめらかにテンソルを割り当てたものがテンソル場。(1,0)(1,0) 型はベクトル場、 (0,1)(0,1) 型は余接ベクトル場（11 形式）、(0,2)(0,2) 型対称テンソルは計量（リーマン幾何）。

テンソルは「複数の方向を入れると数が出る、各引数について線形な箱」。座標では上つき・下つき添字の並びで表され （第4章の反変・共変）、座標変換でヤコビ行列の積で変換します。この変換則を満たすことが「テンソルで ある」ことの本質で、座標に依らない幾何的な量を成分で扱えます。テンソルの積がテンソル積です。

定義 テンソル積

テンソル S,TS,T のテンソル積 S⊗TS\otimes T は、引数を分けて SS と TT に渡し掛け合わせたテンソル。dxi⊗dxjdx^i\otimes dx^j、 ∂i⊗∂j\partial_i\otimes\partial_j 等が基底。(r,s)(r,s) 型テンソル全体は TM,T∗MTM,T^*M のテンソル積空間。

交代テンソルと微分形式

テンソルのうち、引数を入れ替えると符号が変わる（交代的・反対称）ものが微分形式です。行列式の 交代性を思い出してください。

定義 k 形式

kk 個の接ベクトルを受け取り、任意の2つを入れ替えると符号が変わる（交代的）多重線形写像をkk 形式 （kk 次微分形式）という。各点になめらかに割り当てたものが kk 次微分形式場。00 形式＝関数、11 形式＝余接ベクトル場、 nn 形式（n=dim⁡Mn=\dim M）が積分される量。kk 形式全体を Ωk(M)\Omega^k(M) と書く。

交代性がなぜ重要か。それは向きと符号つきの体積を測るからです。22 ベクトルが張る平行四辺形の符号つき面積 （行列式）は、22 ベクトルを入れ替えると符号が反転する——まさに交代的。だから交代テンソル＝ 微分形式が、向きを込めた積分の自然な対象になります。kk 形式どうしを掛けて階数を上げるのがウェッジ積です。

ウェッジ積と外積代数

定義 ウェッジ積

pp 形式 α\alpha と qq 形式 β\beta のウェッジ積 α∧β\alpha\wedge\beta（(p+q)(p+q) 形式）を、テンソル積を反対称化して定める。 性質：結合的、双線形、そして次数つき反可換 α∧β=(−1)pqβ∧α.\alpha\wedge\beta=(-1)^{pq}\beta\wedge\alpha. 特に 11 形式どうしは dxi∧dxj=−dxj∧dxidx^i\wedge dx^j=-dx^j\wedge dx^i、ゆえ dxi∧dxi=0dx^i\wedge dx^i=0。

ウェッジ積の核心は dxi∧dxi=0dx^i\wedge dx^i=0（同じものを掛けると消える）と反可換性。これは行列式が同じ列で 00に なるのと同じ交代性です。この積で、微分形式全体は外積代数 Ω∗(M)=⨁kΩk(M)\Omega^*(M)=\bigoplus_k\Omega^k(M) という次数つき環になります。

定理 k 形式の基底と次元

nn 次元多様体で、kk 形式はチャートの座標を用いて ω=∑i1<⋯<ikai1⋯ik(x) dxi1∧⋯∧dxik\omega=\sum_{i_1<\cdots<i_k}a_{i_1\cdots i_k}(x)\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} と一意に書ける。Ωpk\Omega^k_p の次元は (nk)\binom nk。特に nn 形式は 11 次元（dx1∧⋯∧dxndx^1\wedge\cdots\wedge dx^n の定数倍）で、k>nk>n なら 00。

例 微分形式の例

  • R3\mathbb R^3 で：00 形式 ff、11 形式 P dx+Q dy+R dzP\,dx+Q\,dy+R\,dz（ベクトル場に対応）、22 形式 A dy∧dz+B dz∧dx+C dx∧dyA\,dy\wedge dz+B\,dz\wedge dx+C\,dx\wedge dy（面素、流束）、33 形式 f dx∧dy∧dzf\,dx\wedge dy\wedge dz（体積）。
  • 11 形式は「線積分される量」：∫γω=∫γ(P dx+Q dy)\int_\gamma\omega=\int_\gamma(P\,dx+Q\,dy)（微積分の線積分）。
  • nn 形式は「体積形式」：nn 次元多様体で積分される（第9章）。

R3\mathbb R^3 では、0,1,2,30,1,2,3 形式がベクトル解析の「スカラー場・ベクトル場（線積分用）・ベクトル場（面積分用）・ スカラー場（体積用）」に対応します。微分形式は、これらを統一的に扱う言語——次章の外微分 dd が、勾配・回転・ 発散を一つの操作にまとめ、ストークスの定理が積分定理を一つに統一します。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 微分形式＝交代的（反対称）テンソル。 引数を入れ替えると符号反転。行列式の交代性の精神。だから向き・符号つき体積を測る。
  • dxi∧dxi=0dx^i\wedge dx^i=0、α∧β=(−1)pqβ∧α\alpha\wedge\beta=(-1)^{pq}\beta\wedge\alpha。 ウェッジは反可換。同じものは消える。k>nk>n の形式は 00。
  • 11 形式と（計量ある）ベクトル場は似て非なる。 11 形式は「積分される量・共変」、ベクトル場は「反変」。計量があると同一視できる（添字の上げ下げ）が、多様体一般では別物。
  • R3\mathbb R^3 の 0,1,2,30,1,2,3 形式がベクトル解析の各対象。 微分形式はそれらの統一言語。

この章のまとめ

  • テンソルは多重線形な量（座標変換で正しく変わる）、テンソル場は各点への割り当て。テンソル積 ⊗\otimes で組み合わせる。ベクトル場・11 形式・計量がテンソル場。
  • 微分形式 ＝ 交代的（反対称）テンソル場。kk 形式 Ωk\Omega^k、次元 (nk)\binom nk。交代性が向きつき体積を測る（行列式の精神）。
  • ウェッジ積 ∧\wedge（反可換、dxi∧dxi=0dx^i\wedge dx^i=0）で外積代数 Ω∗(M)\Omega^*(M)。R3\mathbb R^3 の 0,1,2,30,1,2,3 形式がベクトル解析の各対象を統一。

次章は、微分形式を微分する操作——外微分を導入し、d2=0d^2=0 を確立します。