第2章完全形・ベルヌーイ・リッカチ

「解ける形」のレパートリーを増やす

前章で変数分離形と一階線形を解きました。この章では、初等的に解ける一階方程式のレパートリーをさらに広げます。共通する発想は「うまい変換で、既知の形に持ち込む」こと。

完全形は、方程式が「あるポテンシャル関数の全微分＝ $0$ 」の形になっているのを見抜き、そのポテンシャルを復元します（微積分の保存場と同じ精神）。完全でなくても、積分因子を掛けて完全にできることがある。 ベルヌーイ方程式は非線形ですが、変数変換で一階線形に化けます。リッカチ方程式は一般には解けませんが、特殊解を一つ知っていれば線形に帰着できる。「非線形を線形に落とす変換」という、微分方程式論の中心的な技法の入門です。次章で存在と一意性の一般論に入る前に、具体的に手を動かす最後の章です。

完全形＝全微分の復元、ベルヌーイ＝変換で線形化、リッカチ＝特殊解で線形化。「既知の形へ持ち込む」技法。

完全形

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$ が「ある関数 $F$ の全微分 $dF=0$ 」なら、解は $F=C$ です。それを見抜く判定条件があります。

定義完全形

$M\,dx+N\,dy=0$ が完全形とは、ある $C^1$ 関数 $F(x,y)$ （ポテンシャル）で $F_x=M,\ F_y=N$ となること。このとき $dF=M\,dx+N\,dy=0$ より、解は $F(x,y)=C$ 。

定理完全性の判定

$M,N$ が $C^1$ で単連結領域上にあるとき、 $M\,dx+N\,dy=0$ が完全 $\iff \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$ 。

証明

完全なら $M_y=F_{xy}=F_{yx}=N_x$ （シュワルツの定理）。逆は微積分第12章の保存場の理論そのもの： $M_y=N_x$ （渦なし）なら単連結領域でポテンシャル $F(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}M\,dx+N\,dy$ （経路によらない）が存在。∎

判定条件 $M_y=N_x$ は、ベクトル解析の「保存場 ⇔ 回転が $0$ 」の一階微分方程式版です。完全なら、 $F_x=M$ を $x$ で積分して $F=\int M\,dx+g(y)$ とし、 $F_y=N$ から $g(y)$ を決めれば、解 $F=C$ が求まります。

例完全形の解法

$(2xy+1)\,dx+(x^2+3y^2)\,dy=0$ ： $M_y=2x=N_x$ で完全。 $F=\int(2xy+1)dx=x^2y+x+g(y)$ 、 $F_y=x^2+g'(y)=x^2+3y^2$ より $g'=3y^2$ 、 $g=y^3$ 。解は $x^2y+x+y^3=C$ 。

注意積分因子で完全化

完全でなくても、積分因子 $\mu(x,y)$ を掛けて $\mu M\,dx+\mu N\,dy=0$ を完全にできることがある。 $(\mu M)_y=(\mu N)_x$ の条件が、 $\mu$ が $x$ だけ・ $y$ だけの関数のとき解ける。一階線形の $e^{\int p}$ （前章）も、この積分因子の一例。

ベルヌーイ方程式

非線形 $y'+p(x)y=q(x)y^n$ は、一見手強いですが、変数変換で一階線形に化けます。

定理ベルヌーイ方程式

$y'+p(x)y=q(x)y^n$ （ $n\ne0,1$ 、ベルヌーイ方程式）は、 $v=y^{1-n}$ とおくと $v$ について一階線形になる： $v'+(1-n)p(x)v=(1-n)q(x).$

証明

両辺を $y^n$ で割ると $y^{-n}y'+py^{1-n}=q$ 。 $v=y^{1-n}$ なら $v'=(1-n)y^{-n}y'$ 、すなわち $y^{-n}y'=\frac{v'}{1-n}$ 。代入して $\frac{v'}{1-n}+pv=q$ 、整理して結論。あとは前章の積分因子で解く。∎

「 $v=y^{1-n}$ という置換が非線形項を消す」——冪 $y^n$ に合わせて変数を取り替えると、線形になる。この「適切な変換で非線形を線形化」は、微分方程式論の核心的なアイデアです。

例ベルヌーイの例

$y'+y=y^2$ （ $n=2$ ）： $v=y^{-1}$ とすると $v'-v=-1$ 。積分因子 $e^{-x}$ で解いて $v=1+Ce^x$ 、 $y=\frac1{1+Ce^x}$ （ロジスティック型）。

リッカチ方程式

$y'=q_0(x)+q_1(x)y+q_2(x)y^2$ （ $y$ について $2$ 次）は、一般には初等的に解けません。しかし特殊解を一つ知っていれば、線形（ベルヌーイ）に帰着できます。

定理リッカチ方程式

リッカチ方程式 $y'=q_0+q_1y+q_2y^2$ について、特殊解 $y_1$ が一つ分かっているとき、 $y=y_1+\dfrac1v$ とおくと $v$ について一階線形になる： $v'+(q_1+2q_2y_1)v=-q_2.$

証明

$y=y_1+u$ （ $u=1/v$ ）とすると、 $y_1$ が解ゆえ差 $u$ は $u'=(q_1+2q_2y_1)u+q_2u^2$ というベルヌーイ方程式（ $n=2$ ）を満たす。 $v=u^{-1}$ で線形化すると上の式。∎

「特殊解 $y_1$ を一つ見つければ、残りは線形」。リッカチは、特殊解の存在が全体を解く鍵になる典型で、この「一つの解から全体へ」という構造は、線形方程式の一般論や量子力学（リッカチ↔シュレディンガー）でも現れます。リッカチ方程式は、 $2$ 階線形方程式 $u''+\dots=0$ と（ $y=-u'/u$ の変換で）等価という深い関係もあります。

つまずきポイント

注意よくある誤解

完全性の判定は $M_y=N_x$ 。 ベクトル解析の「保存場 ⇔ 回転 $0$ 」と同じ。単連結性が必要。完全でなければ積分因子を探す。
ベルヌーイは $v=y^{1-n}$ で線形化。 $n=0,1$ は既に線形（一階線形）なので除く。冪に合わせた置換が鍵。
リッカチは特殊解が要る。 一般には求積不能。特殊解 $y_1$ を一つ知れば $y=y_1+1/v$ で線形に落ちる。 $2$ 階線形と等価。
「初等的に解ける」は例外的。 ほとんどの微分方程式は初等関数で書けない。だから次章の「解の存在」の一般論が要る。

この章のまとめ

完全形 $M\,dx+N\,dy=0$ （ $M_y=N_x$ ）はポテンシャル $F$ の全微分で、解は $F=C$ （保存場の理論）。完全でなければ積分因子で完全化。
ベルヌーイ $y'+py=qy^n$ は $v=y^{1-n}$ で一階線形に。リッカチ $y'=q_0+q_1y+q_2y^2$ は特殊解 $y_1$ を使い $y=y_1+1/v$ で線形化。
共通する技法は「適切な変換で既知の形（線形）に持ち込む」。だが初等的に解ける方程式は例外的で、一般論が要る。

次章は、「解が存在し一意である」ことを保証する基本定理——ピカール–リンデレフの定理を、縮小写像で証明します。

第2章 完全形・ベルヌーイ・リッカチ