第1章偶然を測る — 確率空間

「確率」は、本当は何を数えているのか

サイコロで $3$ が出る確率は $1/6$ 。理由を聞かれたら「 $6$ 通りのうち $1$ 通りだから」と答えます。コインなら $1/2$ 、トランプで絵札を引くなら $12/52$ 。どれも**「起こりうる場合を数えて割る」**だけ。中学以来おなじみのこのやり方で、たいていの確率は計算できます。

ところが、ほんの少し設定を変えるだけで、この足場は崩れます。たとえばこう問われたら？

区間 $[0,1]$ から「無作為に」実数を一つ選ぶ。それが $0.3$ ちょうどになる確率は？

「起こりうる場合」は $[0,1]$ の中の実数すべて——非可算無限個あります。「 $1$ 通り ÷ 無限通り」は $0$ にしかなりません。ではどの一点も確率 $0$ 。でも「どこかには必ず落ちる」のだから、 $0$ を全部足すと $1$ にならないといけない。 $0$ を無限個足して $1$ ？——素朴な数え上げは、ここで完全に行き詰まります。

では「 $[0.2,\,0.5]$ に落ちる確率は？」なら答えられます。区間の長さ $0.3$ です。つまり連続の確率で本当に効いているのは「場合の数」ではなく、**その事象が占める『大きさ』**でした。長さ、面積、体積——これらを厳密に測る理論を、私たちはすでに持っています。測度論です。

確率とは「事象という集合の大きさ」。数え上げは有限のときのご利益にすぎない。本質は測度。

舞台を三つ道具で組む：標本空間・事象・確率

偶然の実験を数学にするには、まず「何が起こりうるか」を集合として書き出します。

起こりうる結果すべての集合を標本空間 $\Omega$ と呼びます。サイコロなら $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ 、コイン $2$ 回なら $\Omega=\{HH,HT,TH,TT\}$ 、 $[0,1]$ から一点なら $\Omega=[0,1]$ 。 $\Omega$ の要素一つ一つ $\omega$ が「一回の実験結果」です。

次に事象。「偶数が出る」は $\{2,4,6\}$ 、「表が少なくとも $1$ 回」は $\{HH,HT,TH\}$ 。つまり事象とは $\Omega$ の部分集合です。そして確率 $P$ は、各事象にその「起こりやすさ」＝ $[0,1]$ の数を割り当てる関数。「事象 → 大きさ」という対応、まさに測度と同じ形です。

ここで一つ、意外な落とし穴があります。「 $\Omega$ のすべての部分集合に確率を割り当てられる」とは限らないのです。 $\Omega=[0,1]$ のとき、測度論の第4章で見たヴィタリ集合——長さを測れない集合——が存在します。そんな集合に確率を与えようとすると矛盾が起きる。だから「確率を測ってよい事象」だけを、あらかじめきちんと選んでおく必要があります。その「測ってよい事象の家族」がσ-加法族 $\mathcal{F}$ です。

定義 σ-加法族（事象の家族）

$\Omega$ の部分集合の集まり $\mathcal{F}$ が次を満たすとき、 $\mathcal{F}$ を σ-加法族という。

$\Omega \in \mathcal{F}$ （全体は事象）
$A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c \in \mathcal{F}$ （「起こらない」も事象）
$A_1,A_2,\dots \in \mathcal{F} \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}$ （可算個の「または」も事象）

条件はどれも自然です。「偶数が出る」が事象なら「偶数が出ない」も事象であってほしい（ $A^c$ ）。「 $2$ が出る」「 $4$ が出る」がそれぞれ事象なら「 $2$ か $4$ 」も事象（和集合）。可算無限個の和まで許すのがミソで、これが「 $[0,1]$ の全部の点をいっぺんに扱う」連続の議論を可能にします。有限や可算の $\Omega$ なら、 $\mathcal{F}$ は「全部分集合」で構いません。連続だと、区間から生成されるボレル集合族を使います。

コルモゴロフの公理：たった三つで確率論が建つ

道具がそろいました。 $1933$ 年、コルモゴロフは確率をこう定義しました——測度論の言葉、そのままで。

定義確率空間（コルモゴロフの公理系）

組 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ が確率空間であるとは、 $\mathcal{F}$ が $\Omega$ 上の σ-加法族で、関数 $P\colon \mathcal{F}\to[0,1]$ が次を満たすこと。

非負性：任意の事象 $A$ に対し $P(A)\ge 0$ 。
全確率： $P(\Omega)=1$ 。
可算加法性：互いに排反な事象 $A_1,A_2,\dots$ （ $i\ne j$ で $A_i\cap A_j=\varnothing$ ）に対し

P\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n).

これだけ。測度論の測度の定義と見比べてください。唯一の違いは条件2「全体の大きさが $1$ 」だけ。つまり確率測度＝全質量を $1$ に正規化した測度にすぎません。測度論で証明した性質は、そっくり確率でも成り立ちます。

命題公理から自動的に出る性質

$P(\varnothing)=0$ 、 $P(A^c)=1-P(A)$ 、 $A\subset B \Rightarrow P(A)\le P(B)$ 、そして包除原理 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 。

証明

$A$ と $A^c$ は排反で和が $\Omega$ だから、可算加法性（有限版）より $P(A)+P(A^c)=P(\Omega)=1$ 。これで $P(A^c)=1-P(A)$ 。 $A=\Omega$ とすれば $P(\varnothing)=0$ 。 $A\subset B$ なら $B=A\sqcup(B\setminus A)$ と排反に分かれ、 $P(B)=P(A)+P(B\setminus A)\ge P(A)$ 。包除は $A\cup B=A\sqcup(B\setminus A)$ と $B=(A\cap B)\sqcup(B\setminus A)$ から差し引きで出る。

素朴な数え上げは、 $\Omega$ が有限で「どの結果も同様に確からしい」特別な場合、 $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$ として、この公理系にきちんと収まります。数え上げは一般論の一例だったわけです。

確率変数＝可測関数、分布＝押し出された測度

実験で本当に知りたいのは、結果そのもの $\omega$ より「そこから読み取る数値」——サイコロの目、コインの表の回数、株価——であることが多い。この「結果に応じて決まる数」を確率変数と呼びます。名前は「変数」ですが、正体は** $\Omega$ 上の関数** $X\colon\Omega\to\mathbb{R}$ です。

ただし何でもよいわけではない。「 $X$ が区間 $[a,b]$ に入る確率」を問える必要があるので、逆像 $\{\omega : X(\omega)\in[a,b]\}$ が**必ず事象（ $\mathcal{F}$ の元）**でなければなりません。この条件を満たす関数、それが測度論でいう可測関数です。

定義確率変数

確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数とは、可測関数 $X\colon\Omega\to\mathbb{R}$ 、すなわち任意の $a\in\mathbb{R}$ について $\{\omega : X(\omega)\le a\}\in\mathcal{F}$ となる関数のこと。

確率変数 $X$ があると、 $\mathbb{R}$ 上に新しい確率を作れます。「 $X$ が集合 $B$ に落ちる確率」を

P_X(B)=P\big(\{\omega : X(\omega)\in B\}\big)=P(X\in B)

と定めるのです。これは $\mathbb{R}$ 上の立派な確率測度で、 $X$ の分布（法則）と呼びます。 $\Omega$ という抽象的な舞台から $X$ を通して $\mathbb{R}$ 上へ確率を「押し出した」もの——測度論の像測度そのものです。

ここが視点の転換点です。一度分布 $P_X$ が手に入れば、もとの $\Omega$ が何だったかはもう忘れてよい。「サイコロの目の分布」さえ分かれば、それがどんな物理的サイコロだったかは計算に要りません。確率論の主役は、この先ずっと「分布」になります。次章はその分布を扱う道具立てから始めましょう。

つまずきポイント

注意よくある誤解

「 $\Omega$ の全部分集合を事象にすればいい」ではない。 連続の $\Omega$ ではヴィタリ集合が邪魔をする。だから σ-加法族で「測ってよい事象」を絞る。有限・可算なら全部分集合でOK、という違いを押さえる。
「確率 $0$ ＝起こらない」ではない。 $[0,1]$ から一点を選べばどの特定の値も確率 $0$ 。でも何かは必ず起こる。「確率 $0$ 」と「空事象（不可能）」は別物。同様に「確率 $1$ 」と「全事象（必然）」も別。
確率変数は「変数」でも「確率」でもなく、関数。 $\omega$ を入れると数が出る写像。ここを混同すると先で必ず迷う。

この章のまとめ

連続の偶然では数え上げが破綻する。確率の本質は「事象という集合の大きさ」＝測度である。
舞台は確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ：標本空間・σ-加法族（測れる事象）・確率測度。コルモゴロフの公理は「全質量 $1$ の測度」というだけで、測度論の全性質を継承する。
確率変数＝可測関数 $X$ 。その像測度 $P_X$ が分布。以後は $\Omega$ を忘れ、分布を主役に据える。

次章では、分布を具体的に記述する道具（分布関数・密度）と、確率論に固有の最重要概念——独立性を導入します。