第2章分布と独立性

前章で「確率論の主役は分布」と言いました。では分布そのものを、どう手に取って計算するのか。そしてこの分野を測度論から分けている決定的な概念——独立性——を導入します。

分布を一本の関数で捉える：分布関数

分布 $P_X$ は「 $\mathbb{R}$ の集合 → 確率」という関数で、集合を相手にするので扱いにくい。そこで、一点までの累積という一変数関数に情報を圧縮します。

定義分布関数（累積分布関数 CDF）

確率変数 $X$ の分布関数を $F_X(x)=P(X\le x)$ と定める。

$F_X$ は「 $x$ 以下に落ちる確率」。 $x$ を左から右へ動かすと確率が溜まっていくので、 $F$ は 単調増加（広義）、右連続、そして $x\to-\infty$ で $0$ 、 $x\to+\infty$ で $1$ 。逆にこの三性質をもつ関数は必ずある分布の分布関数になります。 $F$ さえ決まれば分布は完全に決まる——集合を相手にする代わりに、一本のグラフを見ればよいわけです。区間の確率も差で読めます： $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$ 。

分布には大きく二つの顔があります。

離散型： $X$ が飛び飛びの値 $x_1,x_2,\dots$ しか取らない。各値の確率 $p(x_k)=P(X=x_k)$ を確率質量関数と呼び、 $F$ は階段状に跳ね上がります（跳びの高さ＝その点の確率）。サイコロ、コインの表回数（二項分布）、稀な事象の回数（ポアソン分布）など。

連続型： $F$ がなめらかに増え、ある関数 $f\ge 0$ を使って

F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt,\qquad P(a<X\le b)=\int_a^b f(t)\,dt

と書ける。この $f$ を確率密度関数（PDF）と呼びます。密度は「確率そのもの」ではなく 確率の込み具合——微小区間 $[x,x+dx]$ の確率が $f(x)\,dx$ 。全体で $\int_{-\infty}^{\infty} f=1$ 。連続型では $P(X=x)=0$ なので、一点の確率は密度で語れないことに注意（第1章のつまずき）。

注意測度の言葉ではひとつ

離散も連続も、測度論では同じ枠に収まります。分布 $P_X$ を、離散なら「点に質量を置いた測度」、連続なら「密度 $f$ に対するルベーグ測度の積分」と見るだけ。密度 $f$ はラドン–ニコディム微分 $f=\dfrac{dP_X}{d\lambda}$ に他なりません。両者を統一的に扱えるのが、測度論を土台にしたご利益です。混合型（一部が離散・一部が連続）も自然に入ります。

何度も戻る代表選手

具体的な計算のため、頻出の分布を顔なじみにしておきましょう。

ベルヌーイ $\mathrm{Ber}(p)$ ： $1$ （成功）を確率 $p$ 、 $0$ を $1-p$ 。あらゆる「はい／いいえ」の素。
二項 $\mathrm{Bin}(n,p)$ ：独立なベルヌーイ試行 $n$ 回の成功数。 $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ 。
ポアソン $\mathrm{Poi}(\lambda)$ ： $P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ 。単位時間に稀に起こる事象の回数（放射線、来客）。
一様 $U[a,b]$ ：密度 $f=\dfrac{1}{b-a}$ （区間内で平ら）。「無作為に選ぶ」の標準形。
指数 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ ：密度 $\lambda e^{-\lambda x}\ (x\ge0)$ 。待ち時間。「無記憶性」をもつ。
正規（ガウス） $N(\mu,\sigma^2)$ ：密度 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$ 。釣鐘型。第6章で見るように、多くの偶然を足すと必ず現れる「万物の帰着先」。

確率論の宝：独立性

ここからが、確率論を測度論から分ける核心です。測度論には無い、確率だけの主役概念——独立性。

直感は「一方の情報が他方の確率を変えない」。コインを $2$ 枚投げる。 $1$ 枚目が表と分かっても、 $2$ 枚目が表の確率は $1/2$ のまま。互いに影響しない。これを数式にすると、驚くほど簡潔になります。

定義独立性

事象 $A,B$ が独立とは $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$ 。
確率変数 $X,Y$ が独立とは、任意の（ボレル）集合 $B_1,B_2$ について

P(X\in B_1,\ Y\in B_2)=P(X\in B_1)\,P(Y\in B_2).

多数 $X_1,\dots,X_n$ が独立とは、任意の組で同時確率が各確率の積に分解すること。

「独立＝確率が積で決まる」。この一行が、この先すべての大定理（大数の法則・中心極限定理）のエンジンになります。分布関数・密度でも同じことで、独立なら同時分布が周辺分布の積： $F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$ 、密度なら $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 。

なぜ「積」なのか。測度論の言葉では、独立とは同時分布が直積測度になること。 $2$ 変数の同時分布が、それぞれの分布の「掛け算（直積）」で作られる——だからフビニの定理が使え、 $2$ 重の期待値が積に分解します（次章で活躍）。独立性は「直積測度」の確率的な名前なのです。

注意独立と排反はまるで別物（最頻出の混同）

「排反」 $A\cap B=\varnothing$ （同時に起こらない）と「独立」 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ を混同しがち。むしろ逆に近い： $P(A),P(B)>0$ の排反事象は、 $A$ が起きたら $B$ は絶対起きない＝強く依存していて、独立ではない。「排反」は集合の話、「独立」は確率の積の話。別次元の概念だと肝に銘じる。

独立な和の分布：たたみ込み

独立性の最初のご褒美。独立な $X,Y$ の和 $X+Y$ の分布が、きれいな公式で書けます。

$X+Y\le z$ になるのは、平面 $(x,y)$ で $x+y\le z$ の領域。独立だから同時密度は $f_X(x)f_Y(y)$ 。これを領域で積分して $z$ で微分すると、和の密度は

定理たたみ込み（畳み込み）

独立な連続型 $X,Y$ の和 $Z=X+Y$ の密度は

f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,f_Y(z-x)\,dx \;=\;(f_X * f_Y)(z).

離散型なら和 $P(Z=z)=\sum_x P(X=x)\,P(Y=z-x)$ 。

「和の分布＝密度のたたみ込み」。フーリエ解析で「たたみ込みは変換すると積になる」と学びました。だから確率変数の和は、うまい変換を通すと積になるはず——この着想が第6章の特性関数（分布のフーリエ変換）へまっすぐ繋がり、中心極限定理の証明を動かします。今は「独立な和はたたみ込み、変換で積になりそう」と覚えておけば十分です。

具体例：独立な $\mathrm{Poi}(\lambda)$ と $\mathrm{Poi}(\mu)$ の和は $\mathrm{Poi}(\lambda+\mu)$ 。独立な正規 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ と $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ の和は $N(\mu_1+\mu_2,\ \sigma_1^2+\sigma_2^2)$ 。正規は足しても正規のまま（自己再生性）——これも後で効きます。

この章のまとめ

分布は分布関数 $F(x)=P(X\le x)$ で一本化できる（単調・右連続・端で $0,1$ ）。離散は確率質量、連続は密度（ $F=\int f$ ）。測度論では両者は同じ枠で、密度＝ラドン–ニコディム微分。
独立＝確率が積で決まる（ $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ）。同時分布が周辺分布の直積測度。「排反」とは別物——むしろ排反は強い依存。
独立な和の分布はたたみ込み $f_X*f_Y$ 。「変換すれば積になる」予感が、特性関数と CLT への伏線。

次章では、分布から一つの代表値と散らばりを取り出す——期待値と分散、そしてそれらを縛る基本不等式へ進みます。

第2章 分布と独立性