第3章測地線

曲がった空間で「まっすぐ」とは

前章で微分の仕方（レヴィ–チヴィタ接続）が決まりました。すると「まっすぐ進む」の意味も定まります。微分幾何学の曲面で見た測地線を、抽象リーマン多様体へ一般化しましょう。三つの同値な顔——自己平行（加速度ゼロ）・局所最短・方向を変えず進む——は、そのまま生きています。

いちばん本質的なのは「自己平行」。接続で測った加速度がゼロ、つまり速度ベクトルを平行移動しながら進む道です。車でハンドルを切らずに走る軌跡。計量が入った空間では、これが「まっすぐ」の正確な意味になります。

測地線＝速度ベクトルを平行移動しながら進む道（ $\nabla_{\gamma'}\gamma'=0$ ）。曲がった空間の直線。

測地線の定義と方程式

定義測地線

リーマン多様体 $(M,g)$ の曲線 $\gamma(t)$ が測地線であるとは、自身の速度を自身に沿って平行移動する ——共変加速度がゼロ：

\nabla_{\gamma'}\gamma'=0.

局所座標では、クリストッフェル記号（前章）を用いて測地線方程式

\ddot{x}^k+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}\,\dot{x}^i\dot{x}^j=0\qquad(k=1,\dots,n).

「加速度がゼロ」といっても、 $\ddot x^k=0$ （座標で真っ直ぐ）ではありません。曲がった空間の“まっすぐ”は、座標のまっすぐに補正項 $\Gamma^k_{ij}\dot x^i\dot x^j$ を加えたもの。この補正が「空間の曲がりに沿って進路を合わせる」ぶんで、計量だけから決まります（前章の $\Gamma$ ）。だから測地線は内在的——面の上に住む者が、外を見ずに「まっすぐ」を定められます。

定理測地線の存在と一意性

各点 $p$ と各速度 $v\in T_pM$ に対し、 $\gamma(0)=p,\ \gamma'(0)=v$ をみたす測地線が（局所的に）ただ一つ存在する。また測地線は速さが一定（ $|\gamma'|$ が保たれる）。

証明

測地線方程式は二階の常微分方程式で、初期位置 $x^k(0)$ と初期速度 $\dot x^k(0)$ で決まる。微分方程式の存在一意性より局所解が一意。速さ一定は、計量両立より $\frac{d}{dt}g(\gamma',\gamma')=2g(\nabla_{\gamma'}\gamma',\gamma')=0$ 。∎

「点と方向を与えれば測地線が一本決まる」——ユークリッド空間で「点と向きから直線が一本」の一般化です。速さが一定なのは計量両立の直接の帰結（平行移動が長さを保つから、速度の長さも不変）。

測地線は局所最短——長さの変分

測地線のもう一つの顔「最短経路」を、変分法で確立します。二点を結ぶ曲線の中で長さを最小にするものは、測地線方程式をみたす——変分法のオイラー–ラグランジュ方程式が、まさに測地線方程式になるのです。

定理測地線の局所最短性

長さ汎関数 $L(\gamma)=\int\sqrt{g(\gamma',\gamma')}\,dt$ （またはエネルギー $E(\gamma)=\frac12\int g(\gamma',\gamma')dt$ ）の臨界点は測地線である。十分近い二点を結ぶ最短曲線は測地線であり、逆に測地線は十分短い範囲で二点間の最短経路。

証明

曲線を $\gamma_s$ となめらかに変形し、エネルギー $E(\gamma_s)$ の $s=0$ での微分（第一変分）を計算する。部分積分と計量両立より

\frac{d}{ds}\Big|_0 E(\gamma_s)=-\int g\big(\nabla_{\gamma'}\gamma',\ V\big)\,dt

（ $V$ は変分ベクトル場）。これが任意の $V$ でゼロ $\iff$ $\nabla_{\gamma'}\gamma'=0$ （測地線）。ゆえに長さ・エネルギーの臨界点は測地線。∎

第一変分に現れる $\nabla_{\gamma'}\gamma'$ ——これが自己平行の定義そのもの。「長さの臨界点」と「加速度ゼロ」が、変分を通じて一致します。ゴムひもを面に張ると、張力で長さを縮めて測地線の形に落ち着く——これが直感的な像です。

注意 “局所”が本質——最短は近距離でのみ

測地線は「まっすぐ」であって、大域的に最短とは限らない。球面で北極と南極を結ぶ経線はどれも測地線・最短だが、赤道を四分の三周する大円の弧は測地線でも最短でない。第8章で見るように、正曲率では測地線は共役点の先で最短でなくなる。「測地線＝最短」は局所の話——大域では完備性（第9章）と曲率（第8章）が効いてくる。微分幾何の「局所最短性」の回収。

つまずきポイント

注意よくある誤解

測地線は $\ddot x=0$ ではない。 座標のまっすぐでなく、補正 $\Gamma^k_{ij}\dot x^i\dot x^j$ を含む。空間の曲がりに沿う“まっすぐ”。計量だけで決まり内在的。
測地線は「加速度ゼロ」＝自己平行が定義。 最短は帰結（局所的に）。長さの変分＝オイラー–ラグランジュが測地線方程式。
速さは一定。 計量両立の帰結。だから測地線は弧長に比例したパラメータ（アフィンパラメータ）で走る。
最短は局所的にのみ保証。 遠い二点では測地線でも最短とは限らない（球の長い弧）。共役点・完備性が絡む。

この章のまとめ

測地線＝速度を平行移動しながら進む道 $\nabla_{\gamma'}\gamma'=0$ （自己平行・加速度ゼロ）。座標では $\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}\dot x^i\dot x^j=0$ 。補正項が空間の曲がりに沿わせる（計量だけで決まり内在的）。
点と方向で一意に存在、速さは一定（計量両立）。ユークリッドの直線の一般化。
長さ・エネルギーの変分の臨界点が測地線（第一変分に $\nabla_{\gamma'}\gamma'$ が現れる）。局所的には最短だが、大域では共役点・完備性が絡む。
各点・各方向から測地線が伸びる。次章では、これを束ねた写像——指数写像 $\exp_p$ と、それが与える正規座標を導入します。

次章では、指数写像 $\exp_p:T_pM\to M$ と正規座標、測地球、そしてガウスの補題（測地線が測地球に直交する）を見ます。

第3章 測地線