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第12章 ネーター環とヒルベルトの基底定理

「イデアルが有限で書ける」という有限性

第8章の一意分解の存在証明で、「イデアルの昇鎖が止まる」という有限性が効きました。この有限性を 公理として抽出したのがネーター環です。ネーター環では、どんなイデアルも有限個の元で生成される—— 無限に複雑なイデアルは存在しない。この一見地味な条件が、現代の可換環論・代数幾何の土台になります。

なぜ重要か。代数幾何では、図形を「多項式の零点集合」として扱います。もし多項式環が ネーターでなければ、図形を定義するのに無限個の方程式が要るかもしれない。ヒルベルトの基底定理—— 多項式環はネーター——が、「どんな代数的図形も有限個の方程式で定義できる」ことを保証するのです。 この章で環論を締めくくり、可換環論・ホモロジー代数・代数幾何へ橋を架けます。

ネーター環＝イデアルが有限生成（昇鎖条件）。ヒルベルトの基底定理：多項式環はネーター。図形は有限個の方程式で定義できる。

ネーター環の同値な特徴づけ

定理 ネーター環の同値条件

可換環 RR について、次は同値。これらを満たす RR をネーター環という。

  1. （昇鎖条件 ACC）イデアルの任意の昇鎖 I1⊆I2⊆⋯I_1\subseteq I_2\subseteq\cdots は止まる。
  2. イデアルの空でない任意の集合は、包含に関する極大元をもつ。
  3. すべてのイデアルが有限生成。

証明

(1)⇒(2)：極大元がなければ、真に増大する無限昇鎖が作れ (1) に反する。 (2)⇒(3)：イデアル II の有限生成な部分イデアルの集合に極大元 J=(a1,…,ak)J=(a_1,\dots,a_k) をとる。J≠IJ\ne I なら a∈I∖Ja\in I\setminus J で J⊊(a1,…,ak,a)J\subsetneq(a_1,\dots,a_k,a) が (2) の極大性に反する。ゆえ I=JI=J は有限生成。 (3)⇒(1)：昇鎖 I1⊆I2⊆⋯I_1\subseteq I_2\subseteq\cdots の和 I=⋃IkI=\bigcup I_k はイデアルで、(3) より有限生成 I=(a1,…,ar)I=(a_1,\dots,a_r)。 各 aia_i はある IniI_{n_i} に属すので、n=max⁡nin=\max n_i で全部 InI_n に入り I=InI=I_n、昇鎖は止まる。∎

3つの顔——昇鎖が止まる・極大元がある・有限生成——が同値。とくに「有限生成」が実用的で、「無限に複雑なイデアルは ない」ことを意味します。Z\mathbb Z（PID、全イデアルが単項＝1元生成）や体はネーター。では多項式環は？

ヒルベルトの基底定理

定理 ヒルベルトの基底定理

RR がネーター環なら、多項式環 R[x]R[x] もネーター環。

証明

R[x]R[x] の任意のイデアル II が有限生成であることを示す。I={0}I=\{0\} は自明なので I≠{0}I\ne\{0\} とする。

各 d≥0d\ge0 について、II に属す次数 dd の多項式の先頭係数全体（と 00）を Ld⊆RL_d\subseteq R とおく。これは RR のイデアル （af+bgaf+bg の先頭係数を考えると閉じている；次数を xx 倍で揃える）。しかも L0⊆L1⊆L2⊆⋯L_0\subseteq L_1\subseteq L_2\subseteq\cdots（次数 dd の f∈If\in I に xx を掛ければ次数 d+1d+1 で先頭係数同じ）。RR ネーターゆえ、この昇鎖は止まる：ある NN で LN=LN+1=⋯L_N=L_{N+1}=\cdots。

各 d≤Nd\le N について、LdL_d は RR ネーターより有限生成 Ld=(cd,1,…,cd,kd)L_d=(c_{d,1},\dots,c_{d,k_d})。各 cd,jc_{d,j} を先頭係数にもつ次数 dd の 多項式 fd,j∈If_{d,j}\in I をとる。これら有限個の fd,jf_{d,j}（0≤d≤N0\le d\le N）が II を生成することを示す。

J=({fd,j})⊆IJ=(\{f_{d,j}\})\subseteq I とおき、J≠IJ\ne I と仮定して I∖JI\setminus J の最小次数の元 gg（次数 dd、先頭係数 cc）をとる。

  • d≤Nd\le N のとき：c∈Ld=(cd,1,… )c\in L_d=(c_{d,1},\dots) なので c=∑rjcd,jc=\sum r_j c_{d,j}、h=∑rjfd,j∈Jh=\sum r_j f_{d,j}\in J は次数 dd・先頭係数 cc。 g−hg-h は次数 <d<d で II に属し、最小性より g−h∈Jg-h\in J、ゆえ g∈Jg\in J——矛盾。
  • d>Nd>N のとき：c∈Ld=LN=(cN,1,… )c\in L_d=L_N=(c_{N,1},\dots) なので、h=∑rjxd−NfN,j∈Jh=\sum r_j x^{d-N}f_{N,j}\in J が次数 dd・先頭係数 cc。同様に g−hg-h が 次数 <d<d で II に属し矛盾。

いずれも矛盾。ゆえ J=IJ=I で、II は有限個の fd,jf_{d,j} で生成される。∎

証明の核心は「先頭係数のイデアル LdL_d」の導入です。RR のネーター性（LdL_d が有限生成・昇鎖が止まる）を、 多項式の次数に沿って組み上げ、R[x]R[x] のイデアルの有限生成性を引き出す。次数という「もう一つの有限性」と 係数のネーター性を噛み合わせる、美しい帰納的構成です。系は絶大です。

系 多変数多項式環・有限生成代数はネーター

帰納的に RR ネーターなら R[x1,…,xn]R[x_1,\dots,x_n] もネーター。特に K[x1,…,xn]K[x_1,\dots,x_n]、Z[x1,…,xn]\mathbb Z[x_1,\dots,x_n] はネーター。 ネーター環上の有限生成代数、その剰余環もネーター。

「体上の多変数多項式環はネーター」——これがほぼすべての代数幾何の舞台がネーターである理由です。

代数幾何への扉

注意 図形は有限個の方程式で定義できる

代数幾何では、多項式の集合 S⊆K[x1,…,xn]S\subseteq K[x_1,\dots,x_n] の共通零点 V(S)V(S) を代数的集合という。 基底定理より、SS が生成するイデアル (S)(S) は有限生成 (f1,…,fr)(f_1,\dots,f_r) なので、V(S)=V(f1,…,fr)V(S)=V(f_1,\dots,f_r)—— どんな代数的集合も、有限個の方程式で定義できる。これがザリスキ位相（代数的集合を閉集合とする位相）が well-behaved である根拠。さらにヒルベルトの零点定理（可換環論）が「K[x1,…,xn]K[x_1,\dots,x_n] の 極大イデアル ↔ アフィン空間の点」を対応させ、環と幾何の辞書を完成させる。Spec⁡\operatorname{Spec}（第4章）と 基底定理が、代数と幾何を一つにする。

注意 準素分解（ラスカー–ネーター）

ネーター環では、一意分解（素元分解）が崩れる環でも、イデアルの準素分解——各イデアルが有限個の準素イデアルの 共通部分に書ける（代数的整数論のデデキント環で素イデアル分解に精密化される）——が成り立つ。 「数の一意分解」の崩壊を「イデアルの分解」で救う第6章の路線が、ネーター性のもとで一般的な形に結実する。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • ネーター＝有限生成（イデアルが）。 環そのものが有限という意味ではない。K[x]K[x] は無限だがネーター。「イデアルが無限に複雑にならない」有限性。
  • 基底定理の「基底」はイデアルの生成系。 線形代数の基底とは別。イデアルが有限個の生成元をもつこと。
  • PID・UFD とネーターの関係。 PID ⇒ ネーター（単項＝1元生成）。UFD はネーターとは限らない（無限変数多項式環 K[x1,x2,… ]K[x_1,x_2,\dots] は UFD だが非ネーター）。ネーターは「有限生成」、UFD は「一意分解」で別の有限性。
  • 証明の要は先頭係数のイデアル。 次数のネーター性と係数のネーター性を噛み合わせる。

この章のまとめ

  • ネーター環は「イデアルの昇鎖が止まる ＝ 極大元がある ＝ 全イデアルが有限生成」（三者同値）。無限に複雑なイデアルが無い有限性。
  • ヒルベルトの基底定理：ネーター環上の多項式環はネーター。証明の核心は先頭係数のイデアル LdL_d。系として K[x1,…,xn]K[x_1,\dots,x_n]、有限生成代数はネーター。
  • 帰結：代数的集合は有限個の方程式で定義できる——代数幾何・ザリスキ位相・零点定理の土台。準素分解（ラスカー–ネーター）も成り立つ。

これで環論は一区切りです。環とイデアルから始め、素・極大イデアル、整域の階層と一意分解、多項式環、対称式、 ネーター性まで——「足し算と掛け算のある世界」の構造を辿りました。ここで培ったイデアル・剰余環・素イデアルの視点は、 体論・ガロア理論・代数的整数論・代数幾何学・可換環論へと受け継がれていきます。おつかれさまでした。