第1章体の拡大の基礎

方程式を解くとは、体を広げること

$x^2=2$ は有理数の中に解をもちません。 $x^2=-1$ もそう。方程式を解くには、 $\mathbb Q$ に $\sqrt2$ や $i$ を 付け加えて体を広げる必要があります。 $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\sqrt2)\subset\mathbb R\subset\mathbb C$ ——数の体系をだんだん広げていくこの営みが、体論の主役です。

そしてガロアの天才的な洞察は、「体をどう広げたか」という情報が、実は群（群論）に翻訳できる、というものでした。方程式の可解性という解析的な問いが、対称性の群論的な問いに化ける——それがガロア理論です。そこへ至る第一歩として、この章では「体の拡大」を厳密に定義し、その“大きさ”を測る拡大次数を導入します。鍵は、大きい体を小さい体の上のベクトル空間とみなすこと——線形代数がここで効きます。

体の拡大 $L/K$ の“大きさ”は、 $L$ を $K$ 上のベクトル空間とみた次元 $[L:K]$ （拡大次数）で測る。

体の拡大

定義体の拡大

体 $K$ が体 $L$ の部分体であるとき、 $L$ を $K$ の拡大体、この状況を体の拡大 $L/K$ という（ $K$ を基礎体、 $L$ を上の体）。

拡大 $L/K$ を調べる決定的なアイデアは、 $L$ を「 $K$ を係数とするベクトル空間」とみることです。 $L$ の元は足せるし、 $K$ の元（スカラー）を掛けられる——まさにベクトル空間の公理（線形代数第1章）を満たします。

定義拡大次数

拡大 $L/K$ において、 $L$ を $K$ 上のベクトル空間とみたときの次元 $\dim_K L$ を拡大次数 $[L:K]$ という。 $[L:K]<\infty$ のとき有限拡大、そうでないとき無限拡大という。

例拡大次数の例

$[\mathbb C:\mathbb R]=2$ ： $\mathbb C=\mathbb R\oplus\mathbb R i$ 、基底 $\{1,i\}$ 。
$[\mathbb Q(\sqrt2):\mathbb Q]=2$ ： $\mathbb Q(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2\}$ 、基底 $\{1,\sqrt2\}$ 。
$[\mathbb Q(\sqrt[3]2):\mathbb Q]=3$ ：基底 $\{1,\sqrt[3]2,\sqrt[3]4\}$ 。
$[\mathbb R:\mathbb Q]=\infty$ （ $\mathbb R$ は $\mathbb Q$ 上非可算次元）。

拡大次数を「ベクトル空間の次元」として定義したことで、線形代数の道具（基底・次元）がまるごと使えます。その最初の、そして最も重要な帰結が次の塔の公式です。

塔の公式（拡大次数の乗法性）

体を二段階に広げたとき、次数はどうなるか。答えは「掛け算」です。

定理塔の公式

体の拡大の塔 $K\subseteq L\subseteq M$ について $[M:K]=[M:L]\cdot[L:K].$ 特に $[M:K]<\infty\iff[M:L]<\infty$ かつ $[L:K]<\infty$ 。

証明

$\{\alpha_i\}_{i\in I}$ を $L$ の $K$ 上の基底、 $\{\beta_j\}_{j\in J}$ を $M$ の $L$ 上の基底とする（ $|I|=[L:K],\ |J|=[M:L]$ ）。積 $\{\alpha_i\beta_j\}_{(i,j)\in I\times J}$ が $M$ の $K$ 上の基底であることを示せば $[M:K]=|I\times J|=|I||J|$ となる。

生成：任意の $m\in M$ は $M$ の $L$ 上基底で $m=\sum_j b_j\beta_j\ (b_j\in L)$ 、各 $b_j$ は $L$ の $K$ 上基底で $b_j=\sum_i a_{ij}\alpha_i\ (a_{ij}\in K)$ 。代入して $m=\sum_{i,j}a_{ij}\alpha_i\beta_j$ 。ゆえ $\{\alpha_i\beta_j\}$ が $M$ を $K$ 上生成。

一次独立： $\sum_{i,j}a_{ij}\alpha_i\beta_j=0\ (a_{ij}\in K)$ とする。 $\sum_j\big(\sum_i a_{ij}\alpha_i\big)\beta_j=0$ で、 $\sum_i a_{ij}\alpha_i\in L$ 、 $\{\beta_j\}$ が $L$ 上一次独立なので各 $j$ で $\sum_i a_{ij}\alpha_i=0$ 。さらに $\{\alpha_i\}$ が $K$ 上一次独立なので各 $a_{ij}=0$ 。∎

証明は純粋に線形代数——「基底の積が基底になる」という二重の一次独立性の議論です。塔の公式は、拡大次数を 因数分解する道具。「 $[M:K]$ が素数なら中間体が無い」といった強い制約を生み、後のガロア理論で中間体の存在・非存在を支配します。

系塔の公式の帰結

$K\subseteq L\subseteq M$ で $[M:K]$ が有限のとき、 $[L:K]$ は $[M:K]$ を割り切る。特に $[M:K]$ が素数なら、 $K$ と $M$ の間に真の中間体は無い。

証明

$[L:K]\mid[M:K]$ は塔の公式 $[M:K]=[M:L][L:K]$ から直接。 $[M:K]=p$ 素数なら $[L:K]\in\{1,p\}$ 、つまり $L=K$ または $L=M$ 。∎

これは群論のラグランジュの定理（部分群の位数が群の位数を割る）と瓜二つの主張です。実際、ガロア理論で「中間体 ↔ 部分群」の対応がつくと、この2つが同じ定理の二つの顔になります——伏線です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

拡大次数はベクトル空間の次元。 $[L:K]=\dim_K L$ 。「体としての大きさ」ではなく「 $K$ 上の線形空間としての次元」。 $[\mathbb Q(\sqrt2):\mathbb Q]=2$ は $\{1,\sqrt2\}$ が基底だから。
塔の公式は掛け算。 $[M:K]=[M:L][L:K]$ 。段を重ねると次数が掛かる。ゆえ中間体の次数は全体の次数を割る。
$L/K$ は「 $L$ 割る $K$ 」ではない。 単に「 $K$ を含む拡大体 $L$ 」を表す記法。剰余ではない。

この章のまとめ

方程式を解くには体を広げる。体の拡大 $L/K$ の大きさは、 $L$ を $K$ 上ベクトル空間とみた次元 $[L:K]$ （拡大次数）で測る。線形代数が土台。
塔の公式 $[M:K]=[M:L][L:K]$ （証明は「基底の積が基底」）。中間体の次数は全体の次数を割り、素数次数なら中間体が無い——ラグランジュの定理と平行。
$[\mathbb C:\mathbb R]=2$ 、 $[\mathbb Q(\sqrt2):\mathbb Q]=2$ 、 $[\mathbb Q(\sqrt[3]2):\mathbb Q]=3$ など。

次章は、一つの元を付け加える単拡大と、その次数を決める最小多項式を扱います。

第1章 体の拡大の基礎