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第6章 連続写像と不動点

「押し縮める写像」は、必ず一点に落ち着く

地図をたたんで、実物の国土の上にぽんと置く。すると地図上のどこか1点だけは、 その真下の実際の地点とぴったり重なっている——これは「地図が実物より縮んでいる」限り、 必ず起こります。この“動かない1点”が不動点です。

なぜ役に立つのか。「方程式を解く」ことの多くは、うまく変形すると「f(x)=xf(x)=x となる xx を探す」 ＝不動点探しに化けるからです。そして「ff が縮小写像なら不動点がただ一つ存在し、しかも 繰り返し適用するだけで必ずそこへ収束する」と保証できる。存在・一意・求め方の3つを同時に与える、 この上なく実用的な定理——それがバナッハの不動点定理です。

縮小写像は不動点をただ一つもち、どこから始めても反復でそこへ収束する。存在・一意・構成を一挙に。

まず一様連続を押さえる

連続には強さの差がありました（微積分第5章）。不動点定理の主役「縮小写像」は、 一様連続をさらに強めたものなので、ここで整理します。

定義 一様連続とリプシッツ連続

ff が一様連続：∀ε>0,∃δ>0, d(x,y)<δ⇒d(f(x),f(y))<ε\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\ d(x,y)<\delta\Rightarrow d(f(x),f(y))<\varepsilon （δ\delta が点によらず共通）。 さらに定数 LL で d(f(x),f(y))≤L d(x,y)d(f(x),f(y))\le L\,d(x,y) が成り立つときリプシッツ連続（変化率が LL で頭打ち）。

リプシッツ連続 ⇒ 一様連続 ⇒ 連続。前章の通りコンパクト上なら連続は自動で一様連続でした。 そして L<1L<1 の特別なリプシッツ写像が縮小写像です。

縮小写像とバナッハの不動点定理

定義 縮小写像

完備距離空間 XX 上の写像 f:X→Xf:X\to X が縮小写像とは、ある 0≤L<10\le L<1 で d(f(x),f(y))≤L d(x,y)(∀x,y).d(f(x),f(y))\le L\,d(x,y)\quad(\forall x,y). 2点の距離を、適用するたび一定割合 LL 未満に縮める。

下で体感しましょう。写像 f(x)=ax+bf(x)=a x+b の反復を「クモの巣図」で描きます。 傾き aa（＝縮小率）を動かすと、∣a∣<1|a|<1 なら開始点をどこにとっても不動点に吸い込まれ、 ∣a∣≥1|a|\ge1 では発散します。縮小率が 11 未満であることが収束の生命線だと分かります。

定理 バナッハの不動点定理

完備距離空間上の縮小写像 ff は、不動点 x∗x^*（f(x∗)=x∗f(x^*)=x^*）をただ一つもつ。 さらに任意の初期点 x0x_0 からの反復 xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_n) は x∗x^* に収束し、誤差評価 d(xn,x∗)≤Ln1−L d(x1,x0)d(x_n,x^*)\le\dfrac{L^n}{1-L}\,d(x_1,x_0) が成り立つ。

証明

反復列 (xn)(x_n) を作る。d(xn+1,xn)≤L d(xn,xn−1)≤⋯≤Lnd(x1,x0)d(x_{n+1},x_n)\le L\,d(x_n,x_{n-1})\le\cdots\le L^n d(x_1,x_0) なので、 三角不等式と等比級数（∑Lk=11−L\sum L^k=\frac1{1-L}）から (xn)(x_n) はコーシー列。完備性より収束し極限 x∗x^* をもつ。 ff は連続だから x∗=lim⁡xn+1=lim⁡f(xn)=f(x∗)x^*=\lim x_{n+1}=\lim f(x_n)=f(x^*)、つまり不動点。一意性：f(x∗)=x∗,f(y∗)=y∗f(x^*)=x^*,f(y^*)=y^* なら d(x∗,y∗)=d(f(x∗),f(y∗))≤L d(x∗,y∗)d(x^*,y^*)=d(f(x^*),f(y^*))\le L\,d(x^*,y^*)、L<1L<1 より d(x∗,y∗)=0d(x^*,y^*)=0。

証明の骨は「縮小 ⇒ 反復列がコーシー ⇒ 完備性で収束」。縮小性が存在と一意性を、完備性が “行き先がある”ことを担うという、前章までの道具のきれいな合わせ技です。しかも誤差評価つきなので、 何回反復すれば十分かまで分かる——数値計算に直結します。

どこで効くか

例 不動点定理の応用

  • 微分方程式の解の存在と一意性（ピカール–リンデレフ）：y′=f(x,y)y'=f(x,y) を積分方程式 y(x)=y0+∫x0xf(t,y(t))dty(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y(t))dt に書き換えると、右辺は関数空間上の縮小写像になり、その不動点が解。 微分方程式の存在定理の心臓部。
  • 逆関数定理・陰関数定理（微積分第10章）の証明も不動点で回る。
  • 数値解法（ニュートン法や反復法）の収束保証。

「解を直接作れなくても、解を不動点として存在させる」。この非構成的にも構成的にも使える両刀が、 不動点定理を解析の万能工具にしています。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • L<1L<1 が厳密に必要。 d(f(x),f(y))<d(x,y)d(f(x),f(y))<d(x,y)（真に縮むが LL が 11 に届く）だけでは不動点が無いことがある （例：R\mathbb R 上 f(x)=x+11+exf(x)=x+\frac1{1+e^x} 的なもの）。一様な縮小率 L<1L<1 が要る。
  • 完備性が必須。 不完備空間では反復列がコーシーでも収束先が無く、不動点が存在しないことがある。
  • ff は XX を XX の中へ写す（f:X→Xf:X\to X）必要がある。像が外へ出ると反復が定義できない。

この章のまとめ

  • 連続の強い版：一様連続 ⊃ リプシッツ連続（変化率 ≤L\le L）⊃ 縮小写像（L<1L<1）。
  • バナッハの不動点定理：完備空間上の縮小写像は不動点をただ一つもち、反復でそこへ収束（誤差評価つき）。縮小性が存在・一意を、完備性が収束を保証。
  • 微分方程式の解の存在・逆関数定理・数値反復法など、「解を不動点として存在させる」応用の宝庫。

ここまでが距離空間。次章から、距離という前提すら外して「開集合」だけで語る位相空間へ跳びます。