第11章 スキーム

• アフィンスキーム $\operatorname{Spec} R$：最も基本。$\operatorname{Spec}\mathbb Z$、$\operatorname{Spec} k[x_1,\dots,x_n]$。
• 射影空間 $\mathbb P^n_R$：$n+1$ 個のアフィン $\operatorname{Spec}$ を第6章と同じ貼り方で 貼り合わせる。射影多様体はスキーム。
• $\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 上の相対スキーム：環準同型 $\mathbb Z\to R$ ＝射 $\operatorname{Spec} R\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$。 「$\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 上の幾何」＝数論。
• 群スキーム：スキームかつ群（リー群の代数版）。楕円曲線は群スキーム。

$\operatorname{Spec}\mathbb Z$ が「$1$ 次元の図形」になることで、整数論が幾何になる（第10章）。 方程式 $y^2=x^3+ax+b$ を $\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 上のスキームとみなすと、各素数 $p$ での「還元」（mod $p$ の 曲線）が、$\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 上のファイバーとして幾何的に見える。数論の問い（$p$ で割った余りの世界）が、 幾何の問い（ファイバーの様子）になる。アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、この 「数論＝幾何」の枠組み（楕円曲線とモジュラー形式のスキーム論）の上で行われた。

べき零元をもつ環（$\operatorname{Spec} k[x]/(x^2)$ など）が図形になることで、無限小の厚み・重複度が正式な対象に なる（第10章）。二重点（$x^2=0$）、接ベクトル（$\operatorname{Spec} k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ からの射）、変形（パラメータで図形を動かす）——古典では「極限で潰れる」ものが、スキームでは環の構造として 保たれる。ベズーの定理（第5章）の「重複度込みで数える」が、スキーム論では自然に 正当化される。

スキームの射 $X\to S$ は「$S$ でパラメータづけられた図形の族」とみなせる。各点 $s\in S$ 上のファイバー $X_s$ が 「その値での図形」。$S$ を動かすと図形が連続的に変形する。特異点が生じたり消えたりする様子、モジュライ空間 （図形の分類空間）——これらは射 $X\to S$ として統一的に扱える。「一つの図形」でなく「図形の族」を第一級の 対象にできるのが、スキームの柔軟さ。

• 被約：構造層にべき零元なし（無限小の厚みなし＝古典的）。
• 整：既約かつ被約（整域の $\operatorname{Spec}$）。
• 分離的：多様体の「ハウスドルフ性」の代数版（対角線が閉）。
• 固有：多様体の「コンパクト性」の代数版。射影スキームは固有。
• ネーター：局所的にネーター環（環論、無限降下を止める）。 分離的・固有は、ザリスキ位相がハウスドルフでない（第2章）ぶんを補う条件で、古典幾何の 良さ（分離・完備）を取り戻す。

• スキーム＝局所的にアフィン。 多様体が局所 $\mathbb R^n$、スキームは局所 $\operatorname{Spec} R$。 チャートが環になっただけ。局所は環、大域は貼り合わせ。
• 射は局所環準同型。 ただの連続写像でなく、構造層を局所環として整合的に写す。幾何と代数が両立する射。
• 分離・固有はハウスドルフ・コンパクトの代数版。 ザリスキ位相が粗い（非ハウスドルフ）ぶんを補う。射影スキームは 固有。
• スキームの御利益は数論・無限小・族の統一。 多様体では扱えない対象（$\operatorname{Spec}\mathbb Z$、二重点、族）を 自然に飲み込む。