第11章最大値原理と等角写像

「最大値は必ず境界でとる」——正則関数の剛性、再び

正則関数の絶対値 $|f|$ は、領域の内部で最大値をとれません。最大は必ず境界にある——これが最大値原理です。第2章で見た「実部・虚部は調和関数」の帰結でもあり（調和関数の最大値も境界）、静電場のポテンシャルが内部で極大にならない（物理的にも自然）ことに対応します。

この原理から、正則写像の“大きさ”を制御するシュワルツの補題が出て、それが単位円板の自己同型（第3章で見たメビウス変換）を完全に決定します。そして究極がリーマンの写像定理—— 「単連結領域（全平面を除く）は、どんな複雑な形でも、必ず単位円板と等角同型」。どんな領域も円板に化けられる。第2章の等角写像で予告した「難しい領域を簡単な領域に移す」技術の、理論的な到達点です。写像論のクライマックスへ進みます。

最大値原理： $|f|$ の最大は境界。ここからシュワルツの補題、円板の自己同型、そしてリーマンの写像定理（単連結領域は円板と等角同型）。

最大値原理

定理最大値原理

$f$ が領域 $D$ で正則かつ定数でないなら、 $|f|$ は $D$ の内部で最大値をとらない。 $D$ が有界で $f$ が閉包で連続なら、 $|f|$ の最大は境界でとる。

証明

開写像定理より、定数でない正則 $f$ の像 $f(D)$ は開集合。もし $|f|$ が内点 $z_0$ で最大なら、 $f(z_0)$ は $|w|\le|f(z_0)|$ の縁にあり、 $f(D)$ が $f(z_0)$ の近傍を含む（開）ことに反する（近傍には $|w|>|f(z_0)|$ の点がある）。ゆえ内部で最大をとらない。∎

証明は前章の開写像定理一発。「像が開なら、内部の点の値のまわりにはもっと大きい値がある」——だから内部で最大になれない。別証として、コーシーの積分公式から出る平均値性（ $f(z_0)$ は周上の平均）を使うこともできます（平均が最大なら周上すべて最大＝定数）。この原理を、定義域が円板の写像に適用したのがシュワルツの補題です。

シュワルツの補題

定理シュワルツの補題

$f$ が単位円板 $\mathbb D=\{|z|<1\}$ から $\mathbb D$ への正則写像で $f(0)=0$ とする。このとき $|f(z)|\le|z|\ (\forall z\in\mathbb D),\qquad |f'(0)|\le1.$ さらに、ある $z\ne0$ で $|f(z)|=|z|$ となるか $|f'(0)|=1$ なら、 $f$ は回転 $f(z)=e^{i\theta}z$ 。

証明

$g(z)=f(z)/z$ とおく。 $f(0)=0$ ゆえ $g$ は $0$ で除去可能（第7章）で $\mathbb D$ 上正則、 $g(0)=f'(0)$ 。 $|z|=r<1$ 上で $|g|=|f|/r\le1/r$ （ $|f|<1$ ）。最大値原理より $|z|\le r$ で $|g|\le1/r$ 、 $r\to1$ で $|g(z)|\le1$ （全 $\mathbb D$ ）。すなわち $|f(z)|\le|z|$ 、 $|f'(0)|=|g(0)|\le1$ 。等号成立時、 $|g|$ が内点で最大 $1$ をとるので最大値原理より $g\equiv$ 定数 $e^{i\theta}$ 、 $f=e^{i\theta}z$ 。∎

「円板を円板に写し原点を固定するなら、必ず縮小する（か回転）」。この一見地味な補題が、円板の“かたち”を保つ写像をすべて決定します。まず、その写像を用意します。

メビウス変換と円板の自己同型

第3章で見たメビウス変換 $\frac{az+b}{cz+d}$ （ $ad-bc\ne0$ ）は、円・直線を円・直線に写す等角写像でした。そのうち、単位円板を単位円板に写すものが自己同型です。

定理単位円板の自己同型

$\mathbb D$ から $\mathbb D$ への正則な全単射（自己同型）は、ちょうど $\varphi(z)=e^{i\theta}\,\frac{z-a}{1-\bar a z}\qquad(\theta\in\mathbb R,\ a\in\mathbb D)$ の形（ブラシュケ因子×回転）に限る。

証明

（要点。） $\frac{z-a}{1-\bar az}$ は $|z|=1$ を $|w|=1$ に写し（ $|1-\bar az|=|z||\bar z-\bar a|=|z-a|$ を使う）、 $\mathbb D$ を $\mathbb D$ に写す自己同型で $a\mapsto0$ 。逆に自己同型 $\psi$ に対し、 $\psi(a)=0$ となる $a$ をとり、 $\varphi_a=\frac{z-a}{1-\bar az}$ と合成すると $\psi\circ\varphi_a^{-1}$ は $0$ を固定する自己同型。シュワルツの補題を両向きに適用すると $|f'(0)|=1$ 、ゆえ回転。したがって $\psi$ は上の形。∎

「円板の対称性（自己同型群）」が、 $3$ 実パラメータ（ $a\in\mathbb D$ と回転 $\theta$ ）のメビウス変換で尽くされる。これは双曲幾何（ポアンカレ円板）の等長変換群でもあり、シュワルツの補題の精密版が距離の言葉になります。

定理シュワルツ–ピックの定理

$f:\mathbb D\to\mathbb D$ 正則なら、双曲距離（ポアンカレ計量 $\frac{2|dz|}{1-|z|^2}$ ）を増やさない： $\frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}\le\frac{1}{1-|z|^2}.$ 等号成立は $f$ が自己同型のとき。

シュワルツの補題を「原点固定」から解放した形で、 $f$ は双曲距離の縮小写像。等角写像が双曲幾何と結びつく、美しい定理です。円板の中では、正則写像は距離を縮めるしかない。

リーマンの写像定理

写像論の頂点です。「どんな単連結領域も、円板と本質的に同じ」。

定理リーマンの写像定理

$\mathbb C$ 全体でない単連結領域 $D\subsetneq\mathbb C$ は、単位円板 $\mathbb D$ と等角同型（正則な全単射 $f:D\to\mathbb D$ が存在）。 $D$ の一点と方向を指定すれば、 $f$ は一意。

証明

（証明の骨子。） $D$ から $\mathbb D$ への単射正則写像の族 $\mathcal F$ を考え、「 $|f'(z_0)|$ を最大にする $f$ 」を探す。族が正規族（モンテルの定理的なコンパクト性）ゆえ、極大化する $f$ が存在。それが全射（さもなくばブラシュケ因子と平方根で $|f'(z_0)|$ をさらに大きくでき矛盾）で等角同型。∎

証明は「導関数を最大化する写像を選ぶ」変分的な議論で、関数の族のコンパクト性（正規族）を使います。含意は絶大です。円板・上半平面・複雑な多角形・翼の外側——単連結でありさえすれば、すべて等角に移り合う。だから第2章で予告した「難しい領域でのラプラス方程式を、円板に移して解く」が、原理的にいつでも可能だと保証される。 $\mathbb C$ 全体だけが例外（リウヴィルより $\mathbb C\to\mathbb D$ の非定数正則写像は無い）なのも味わい深い点です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

最大値原理： $|f|$ の最大は境界。 内部で最大なら定数。調和関数（実部）も同様。最小値は $f$ に零点があれば内部でとりうる（ $|f|=0$ ）が、零点が無ければ $1/f$ に最大値原理で最小も境界。
シュワルツの補題は $f(0)=0$ 、 $f:\mathbb D\to\mathbb D$ 。 円板を円板へ・原点固定なら縮小か回転。前提を外すとシュワルツ–ピック（双曲距離の縮小）。
リーマンの写像定理は単連結かつ $\ne\mathbb C$ 。 $\mathbb C$ 全体は円板と等角同型でない（リウヴィル）。穴があると（非単連結）成り立たない。
等角同型は正則な全単射（逆も正則）。 単なる全単射でなく角度を保つ。領域の「複素解析的な同一視」。

この章のまとめ

最大値原理：定数でない正則 $f$ の $|f|$ は内部で最大をとらない（開写像定理から）。最大は境界。
シュワルツの補題： $f:\mathbb D\to\mathbb D$ 、 $f(0)=0$ なら $|f(z)|\le|z|$ （等号で回転）。これが円板の自己同型（メビウス $e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar az}$ ）を決定し、シュワルツ–ピック（双曲距離の縮小）へ精密化。
リーマンの写像定理： $\mathbb C$ でない単連結領域は単位円板と等角同型。どんな領域も円板に移せる（ $\mathbb C$ 全体のみ例外）。

最終章は、正則関数を領域外へ延ばす——解析接続・鏡像の原理・モノドロミーを扱います。

第11章 最大値原理と等角写像