第1章微分方程式とは・初等解法

自然は「変化の法則」で書かれている

物理も生物も経済も、法則はたいてい「変化のしかた」で語られます。速度は位置の変化、加速度は速度の変化、人口の増え方は今の人口に比例、放射性物質の減り方は今の量に比例——。つまり自然が私たちに教えてくれるのは、求めたい量 $y(t)$ そのものではなく、その導関数 $y'$ や $y''$ との関係です。

この「導関数を含む方程式」が微分方程式で、それを解いて元の量 $y(t)$ を復元することが、この分野の営みです。これは積分の壮大な一般化——「変化の法則から未来を計算する」ことにほかなりません。この章では、まず微分方程式の言葉を定め、その幾何的な意味（方向場：各点で進む向きを指定する矢印の場）を可視化します。そして最も基本的な2つの解法——変数分離形と一階線形——を手に入れます。

微分方程式＝未知関数とその導関数の関係式。解く＝変化の法則から関数を復元する。方向場が幾何的な姿。

微分方程式の言葉

定義常微分方程式・階数・解

未知関数 $y(x)$ とその導関数の関係式 $F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0$ を常微分方程式（ODE）という（最高階の導関数が $n$ 階なら $n$ 階）。これを満たす関数を解という。任意定数を含む解の族を一般解、定数を特定した解を特殊解という。

$n$ 階の一般解には $n$ 個の任意定数が現れます（ $n$ 回積分するイメージ）。定数を決めるには、初期条件が要ります。

定義初期値問題

$n$ 階方程式に、一点での値 $y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\dots,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}$ を課したものを初期値問題（IVP）という。（次章以降で見るように、良い条件下で解は一意に定まる。）

方向場：微分方程式の幾何

一階方程式 $y'=f(x,y)$ は、幾何的にはこう読めます——平面の各点 $(x,y)$ で、進むべき傾き $f(x,y)$ を指定している。矢印（傾き）の場を作り、その向きに沿って進む曲線が解。これが方向場（傾き場）です。

定義方向場

一階方程式 $y'=f(x,y)$ に対し、各点 $(x,y)$ に傾き $f(x,y)$ の短い線分を対応させた図を方向場（傾き場）という。解曲線は、各点で方向場に接する曲線。

下で体感してください。方程式を選ぶと方向場（灰の線分）が描かれ、キャンバスをクリックすると、その点を通る解曲線が引かれます。解は「各点の傾きに素直に従って進む道」——微分方程式は道順を指定する場、解はその道を辿った軌跡です。初期条件（出発点）を決めれば、道が一本に決まる様子が見えます。

y′ = キャンバスをクリックで解曲線を追加

方向場は、解を式で求めなくても振る舞いを読める強力な視点です（第7章の定性理論の芽）。では、実際に式で解く方法へ進みます。

変数分離形

最も基本的な解法。 $y$ の部分と $x$ の部分に「分けて」両辺を積分します。

定理変数分離形

$\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ の形（変数分離形）は、 $h(y)\ne0$ の範囲で $\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx+C$ を計算して解ける。 $h(y_*)=0$ なる $y_*$ は定数解（平衡解）。

証明

$\frac1{h(y)}\frac{dy}{dx}=g(x)$ の両辺を $x$ で積分。左辺は置換積分（微積分第7章）で $\int\frac{dy}{h(y)}$ に等しい。∎

例変数分離の例

放射性崩壊・指数増殖 $y'=ky$ ： $\int\frac{dy}y=\int k\,dx$ より $\ln|y|=kx+C$ 、 $y=Ce^{kx}$ 。
ロジスティック方程式 $y'=y(1-y)$ ： $\int\frac{dy}{y(1-y)}=\int dx$ 、部分分数分解して $\ln\frac{y}{1-y}=x+C$ 、 $y=\frac1{1+Ce^{-x}}$ 。 $y=0$ （不安定）と $y=1$ （安定）が平衡解——上の方向場で確かめられる。
同心円 $y'=-x/y$ ： $\int y\,dy=-\int x\,dx$ 、 $\frac{y^2}2=-\frac{x^2}2+C$ 、 $x^2+y^2=$ 一定。

一階線形微分方程式

$y$ について $1$ 次の方程式 $y'+p(x)y=q(x)$ は、積分因子という魔法の掛け算で解けます。

定理一階線形と積分因子

$y'+p(x)y=q(x)$ は、積分因子 $\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ を両辺に掛けると左辺が $(\mu y)'$ にまとまり、 $(\mu y)'=\mu q\quad\Rightarrow\quad y=\frac1{\mu(x)}\Big(\int\mu(x)q(x)\,dx+C\Big).$

証明

$\mu=e^{\int p}$ は $\mu'=p\mu$ を満たす。 $\mu y'+\mu p y=\mu q$ の左辺は積の微分則より $\mu y'+\mu' y=(\mu y)'$ 。両辺を積分して $\mu y=\int\mu q\,dx+C$ 。∎

積分因子 $\mu=e^{\int p}$ の役割は「左辺 $y'+py$ を、完全な微分 $(\mu y)'$ に化けさせる」こと。この一手で、あとは積分するだけ。なぜ $e^{\int p}$ なのかは、 $\mu'=p\mu$ （ $\mu$ 自身が $y'=py$ の解）を要求すれば自然に出ます。

例一階線形の例

$y'-y=x$ （ $p=-1,q=x$ ）： $\mu=e^{-x}$ 。 $(e^{-x}y)'=xe^{-x}$ 、積分して $e^{-x}y=-(x+1)e^{-x}+C$ 、 $y=-(x+1)+Ce^x$ 。解は特殊解 $-(x+1)$ と同次解 $Ce^x$ の和——この「特殊解＋同次解」の構造は線形方程式一般で本質的になる。

つまずきポイント

注意よくある誤解

一般解は任意定数を含む。 $n$ 階なら $n$ 個。初期条件で定数を決めて特殊解を得る。定数を忘れると解の族の一部しか得られない。
変数分離で $h(y)=0$ の定数解を見落とさない。 $y'=y(1-y)$ の $y=0,y=1$ は $\int\frac{dy}{h}$ の外にある平衡解。割り算で消える。
積分因子は $e^{\int p}$ 。 $y'+py=q$ の $p$ （ $y$ の係数、 $y'$ の係数を $1$ に正規化してから）。符号・正規化に注意。
方向場は「解を求めずに振る舞いを読む」道具。 式で解けなくても、平衡・漸近・安定性が見える。

この章のまとめ

微分方程式は「未知関数とその導関数の関係式」。一般解は任意定数を含み、初期条件で特殊解に定まる。一階 $y'=f(x,y)$ の幾何は方向場（各点の傾き）で、解は方向場に沿う曲線。
変数分離形 $y'=g(x)h(y)$ ： $\int\frac{dy}{h}=\int g\,dx$ 。 $h=0$ の定数解に注意。指数増殖・ロジスティック・同心円。
一階線形 $y'+py=q$ ：積分因子 $\mu=e^{\int p}$ を掛けて $(\mu y)'=\mu q$ 、積分して解く。解は「特殊解＋同次解」。

次章は、初等解法をさらに広げます——完全形・積分因子、ベルヌーイ・リッカチ方程式を扱います。

第1章 微分方程式とは・初等解法