第5章非同次線形と定数変化法

外力に、系はどう応答するか

前章は「外力のない（同次）」線形方程式でした。現実の系には外力があります——ばねを周期的に揺する、回路に電圧をかける。方程式は $L[y]=g(x)$ （右辺 $g$ が外力）の形になります。この非同次方程式を、どう解くか。

答えは、線形性が与えるきれいな構造です——一般解＝特殊解＋同次解。外力への「一つの応答（特殊解）」に、自由な「固有振動（同次解）」を足せば、全部の解が尽くせる。あとは特殊解を一つ見つける方法があればよい。右辺が簡単な形（多項式・指数・三角）なら未定係数法で当てずっぽうに、一般の右辺には定数変化法という万能の公式で。この章では特殊解を求める2つの技法と、基本解系の独立性を判定するロンスキアンを扱います。線形代数の「特殊解＋斉次解」（連立方程式の解構造）と完全に平行な話です。

非同次線形の一般解＝ 特殊解＋同次解。特殊解は未定係数法（簡単な右辺）か定数変化法（万能）で求める。

解の構造

定理一般解の構造

非同次線形方程式 $L[y]=g$ の一般解は $y=y_p+y_h,$ ここで $y_p$ は一つの特殊解（ $L[y_p]=g$ ）、 $y_h$ は同次方程式 $L[y]=0$ の一般解（ $n$ 個の任意定数）。

証明

$L[y_p]=g$ 、 $L[y_h]=0$ なら線形性より $L[y_p+y_h]=g+0=g$ 、解。逆に任意の解 $y$ について $L[y-y_p]=g-g=0$ ゆえ $y-y_p$ は同次解 $y_h$ 、すなわち $y=y_p+y_h$ 。∎

これは線形代数の連立方程式 $A\mathbf x=\mathbf b$ の解＝特殊解＋核とまったく同じ構造。微分作用素 $L$ が線形写像、 $\ker L$ が同次解の空間（ $n$ 次元）、特殊解が一つの逆像。線形なら、同次解を全部＋特殊解を一つで完結します。

未定係数法

右辺 $g$ が「多項式・指数・正弦余弦（とその積・和）」なら、特殊解の形を予想して係数を決められます。

定理未定係数法

$L[y]=g$ で $g$ が $e^{ax}$ 、多項式、 $\cos bx,\sin bx$ （とその積）のとき、特殊解 $y_p$ を同じ形（未定係数つき）で仮定し、代入して係数を定める。ただし、仮定した形が同次解と重なる（共鳴）ときは $x$ （重複度ぶん）を掛ける。

例未定係数法の例と共鳴

$y''-y=e^{2x}$ ： $y_p=Ae^{2x}$ と仮定、代入 $(4-1)Ae^{2x}=e^{2x}$ 、 $A=\frac13$ 。 $y_p=\frac13e^{2x}$ 。
$y''+y=\cos2x$ ： $y_p=A\cos2x+B\sin2x$ 、代入して $A=-\frac13,B=0$ 。
共鳴 $y''+y=\cos x$ ： $\cos x$ は同次解 $\cos x,\sin x$ と重なる。 $y_p=x(A\cos x+B\sin x)$ と $x$ を掛けて仮定、 $y_p=\frac x2\sin x$ 。振幅が $x$ に比例して増大——外力の振動数が固有振動数に一致すると共鳴で発散する（物理的にも重要）。

共鳴（ $x$ を掛ける）を忘れると解が出ません。「外力が固有振動と同調すると、応答が線形に増大する」——これは前章の重根（ $xe^{\lambda x}$ ）と同じ現象で、橋の共振崩壊などの物理につながります。

定数変化法

未定係数法は右辺が特殊な形のときだけ。一般の $g$ には、定数変化法（パラメータ変化法）という万能公式があります。同次解の「定数」を「関数」に変える発想です。

定理定数変化法（2階の場合）

$y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$ の同次解の基本解系を $y_1,y_2$ とする。特殊解を $y_p=u_1(x)y_1+u_2(x)y_2$ の形に求めると、 $u_1'=-\frac{y_2\,g}{W},\qquad u_2'=\frac{y_1\,g}{W},\qquad W=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{vmatrix}\ (\text{ロンスキアン})$ を積分して $u_1,u_2$ が求まり、 $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ 。

証明

$y_p=u_1y_1+u_2y_2$ とし、補助条件 $u_1'y_1+u_2'y_2=0$ を課す。 $y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'$ 、 $y_p''=u_1y_1''+u_2y_2''+u_1'y_1'+u_2'y_2'$ 。方程式に代入し $y_1,y_2$ が同次解であることを使うと $u_1'y_1'+u_2'y_2'=g$ 。補助条件と合わせ、 $u_1',u_2'$ についての連立一次方程式 $\begin{pmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1'\\u_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\g\end{pmatrix}$ をクラメルの公式で解くと上の式（分母が行列式＝ロンスキアン $W$ ）。∎

定数変化法は「同次解を組み合わせる係数 $u_i$ を関数にして、外力に合わせて調整する」。 $W\ne0$ （基本解系の独立性）がクラメルの公式を可能にする。ここで基本解系の独立性を測るロンスキアンが主役になります。

ロンスキアンと基本解系

定義ロンスキアン

関数 $y_1,\dots,y_n$ のロンスキアンを $W(x)=\begin{vmatrix}y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y_1'&y_2'&\cdots&y_n'\\ \vdots&&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&\cdots&&y_n^{(n-1)}\end{vmatrix}$ と定める。 $W(x_0)\ne0$ なら $y_1,\dots,y_n$ は一次独立。

定理アーベルの公式と独立性判定

同次線形方程式 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots=0$ の解 $y_1,\dots,y_n$ について、ロンスキアンは $W(x)=W(x_0)\exp\Big(-\int_{x_0}^x a_{n-1}(t)\,dt\Big)\quad(\text{アーベルの公式}).$ ゆえ $W$ はどこでも $0$ か、どこでも $0$ でない。 $W\ne0\iff$ 基本解系（一次独立）。

証明

（アーベルの公式。） $W'=-a_{n-1}W$ （ロンスキアンの微分が最高次係数だけで決まる、行列式の微分計算）を解く。ゆえ $W$ は指数関数倍で、 $0$ になれば恒等的に $0$ 。解の一次独立性は $W(x_0)\ne0$ と同値（初期値ベクトルの独立性、線形代数）。∎

「ロンスキアンは、どこか一点で $0$ でなければ全域で $0$ でない」（アーベルの公式）——だから一点で調べれば基本解系か判定できる。 $n$ 個の解が本当に独立（一般解を尽くす）かを、行列式一つで確かめられる便利な道具です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

一般解＝特殊解＋同次解。 同次解（ $n$ 個の任意定数）を必ず足す。特殊解だけでは一般解でない。線形代数の $A\mathbf x=\mathbf b$ と同じ構造。
共鳴時は $x$ を掛ける。 未定係数法で仮定形が同次解と重なるとき。忘れると解が出ない。重根の $xe^{\lambda x}$ と同じ。
定数変化法は万能だが積分が要る。 未定係数法（簡単な右辺）が使えるならそちらが速い。 $g$ が一般なら定数変化法。
ロンスキアン $W\ne0$ （一点で）＝基本解系。 アーベルの公式で「一点で $0$ なら全域 $0$ 」。独立性判定に使う。

この章のまとめ

非同次線形の一般解＝ 特殊解 $y_p$ ＋同次解 $y_h$ （線形代数の解構造と平行）。
特殊解：未定係数法（右辺が指数・多項式・三角。共鳴時は $x$ を掛ける）、定数変化法（万能、 $u_i'$ をクラメルの公式で解く）。
ロンスキアン $W$ で基本解系の一次独立を判定。アーベルの公式より $W$ はどこでも $0$ かどこでも非零。

次章は、複数の未知関数が絡む連立線形系を、行列指数関数 $e^{tA}$ で一挙に解きます。

第5章 非同次線形と定数変化法