第2章単拡大と最小多項式

「 $\sqrt2$ を付け加える」を正確に言う

$\mathbb Q$ に $\sqrt2$ を付け加えた $\mathbb Q(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2\}$ 。前章で次数 $2$ と分かりました。では、なぜ $\{1,\sqrt2\}$ だけで済み、 $\sqrt2^2,\sqrt2^3,\dots$ が要らないのか？理由は $\sqrt2$ が方程式 $x^2-2=0$ を満たすから—— $\sqrt2^2=2$ で、高い冪はすべて $1,\sqrt2$ に還元できるのです。

この「 $\alpha$ が満たす最小の方程式」＝最小多項式が、単拡大 $K(\alpha)$ のすべてを決めます。最小多項式の次数が拡大次数になり、 $K(\alpha)$ の構造は環論の剰余環 $K[x]/(\text{最小多項式})$ として完全に記述される。環論第2章で $\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C$ と見た現象の、一般的な正体がこれです。体論と環論がここで一つになります。

単拡大 $K(\alpha)$ は、 $\alpha$ の最小多項式 $m_\alpha$ ですべて決まる。 $K(\alpha)\cong K[x]/(m_\alpha)$ 、 $[K(\alpha):K]=\deg m_\alpha$ 。

単拡大と代数的元

定義単拡大・代数的元・超越的元

$L/K$ と $\alpha\in L$ に対し、 $\alpha$ を含む $K$ 上の最小の部分体を $K(\alpha)$ （ $K$ に $\alpha$ を添加した単拡大）という。 $\alpha$ が $K$ 上のある非零多項式の根であるとき $\alpha$ は $K$ 上代数的、そうでないとき超越的という。

$\sqrt2$ は $\mathbb Q$ 上代数的（ $x^2-2$ の根）、 $\pi$ は $\mathbb Q$ 上超越的（どんな有理係数多項式の根でもない、リンデマン）。代数的な $\alpha$ については、それが満たす多項式の中で最も基本的なものを取り出せます。

定理最小多項式

$\alpha$ が $K$ 上代数的なら、 $\alpha$ を根にもつモニックな $K$ 係数多項式のうち次数最小のもの $m_\alpha(x)$ が一意に存在する（最小多項式）。 $m_\alpha$ は $K[x]$ で既約で、 $\alpha$ を根にもつ任意の $K$ 係数多項式 $f$ は $m_\alpha$ で割り切れる。

証明

$I=\{f\in K[x]:f(\alpha)=0\}$ は評価写像 $\mathrm{ev}_\alpha:K[x]\to L,\ f\mapsto f(\alpha)$ の核でイデアル（環論第3章）。 $\alpha$ 代数的ゆえ $I\ne\{0\}$ 。 $K[x]$ は PID（環論第7章）なので $I=(m_\alpha)$ が単項、 $m_\alpha$ をモニックにとれば一意。 $I=(m_\alpha)$ より「 $f(\alpha)=0\iff m_\alpha\mid f$ 」。既約性： $m_\alpha=gh$ （次数 $\ge1$ ）なら $0=m_\alpha(\alpha)=g(\alpha)h(\alpha)$ 、 $L$ は体（零因子なし）ゆえ $g(\alpha)=0$ か $h(\alpha)=0$ 、次数最小性に反する。∎

証明は環論の道具（評価写像の核＝イデアル、 $K[x]$ が PID）でほぼ自動です。 $K[x]$ が PID だから、 $\alpha$ を殺す多項式全体が一つの $m_\alpha$ で生成される——これが「最小多項式」の存在の本質です。次数を計算しましょう。

K(α) の構造

定理単拡大の構造定理

$\alpha$ が $K$ 上代数的で $\deg m_\alpha=n$ とすると、 $K(\alpha)\ \cong\ K[x]/(m_\alpha),\qquad [K(\alpha):K]=n,$ かつ $\{1,\alpha,\alpha^2,\dots,\alpha^{n-1}\}$ が $K(\alpha)$ の $K$ 上の基底。

証明

評価写像 $\mathrm{ev}_\alpha:K[x]\to L$ の像は $K[\alpha]=\{f(\alpha):f\in K[x]\}$ 、核は $(m_\alpha)$ 。第一同型定理より $K[x]/(m_\alpha)\cong K[\alpha]$ 。 $m_\alpha$ 既約ゆえ $(m_\alpha)$ は $K[x]$ （PID）で極大イデアル（環論第8章：既約⇒極大）、したがって $K[x]/(m_\alpha)$ は体（環論第4章）。ゆえ $K[\alpha]$ 自身が体で $K(\alpha)=K[\alpha]$ 。 $K[x]/(m_\alpha)$ の元は次数 $<n$ の多項式で一意に代表される（ $m_\alpha$ で割った余り）ので、基底は $\{1,x,\dots,x^{n-1}\}$ 、対応して $K(\alpha)$ の基底は $\{1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}\}$ 、 $[K(\alpha):K]=n$ 。∎

「拡大次数＝最小多項式の次数」——これが体論の最も基本的な計算原理です。 $\alpha^n$ 以上の冪が $m_\alpha$ の関係 $m_\alpha(\alpha)=0$ で低次に還元されるので、 $1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}$ だけで済む。 $\sqrt2$ なら $m=x^2-2$ 、次数 $2$ 、基底 $\{1,\sqrt2\}$ ——冒頭の疑問の答えです。

例最小多項式と次数

$\sqrt[3]2$ over $\mathbb Q$ ： $m=x^3-2$ （アイゼンシュタイン $p=2$ で既約、環論第10章）、 $[\mathbb Q(\sqrt[3]2):\mathbb Q]=3$ 。
$i$ over $\mathbb R$ ： $m=x^2+1$ 、 $\mathbb R(i)=\mathbb C$ 、次数 $2$ 。
原始 $p$ 乗根 $\zeta_p$ over $\mathbb Q$ ： $m=\Phi_p(x)=x^{p-1}+\cdots+1$ （円分多項式、既約）、次数 $p-1$ （第11章）。

既約性判定（環論第10章）が、ここで拡大次数の計算に直結します。 $m_\alpha$ が既約かどうかをアイゼンシュタイン等で確かめれば、次数が決まる。

単拡大どうしの同型

最小多項式が同じなら、単拡大は同型になります。これはガロア理論で「根の入れ替え（自己同型）」を作る土台です。

命題共役な元は同型を与える

$\alpha,\beta$ がともに $K$ 上代数的で、同じ最小多項式をもつ（互いに共役）なら、 $K$ を固定する体同型 $K(\alpha)\xrightarrow{\cong}K(\beta),\ \alpha\mapsto\beta$ がある。

証明

ともに $K[x]/(m)\cong K(\alpha)$ および $\cong K(\beta)$ （ $m$ が共通の最小多項式）。この2つの同型を合成すると $K(\alpha)\cong K(\beta)$ で、 $x\bmod m$ が $\alpha,\beta$ にそれぞれ対応するので $\alpha\mapsto\beta$ 、 $K$ は固定。∎

$\sqrt2$ と $-\sqrt2$ は同じ最小多項式 $x^2-2$ をもつので、 $\sqrt2\mapsto-\sqrt2$ という $\mathbb Q$ を固定する同型（ $\mathbb Q(\sqrt2)$ の自己同型）がある——これがガロア群の元の正体です（第8章）。根を共役な根に写すという操作が、体の対称性を生みます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

最小多項式は既約でモニック。 $\alpha$ を根にもつ最小次数のモニック多項式。既約なので、既約性判定（アイゼンシュタイン等）で次数が決まる。
$[K(\alpha):K]=\deg m_\alpha$ 。 拡大次数は最小多項式の次数。 $\alpha$ の高い冪は関係式で低次に還元される。
$K[\alpha]=K(\alpha)$ （代数的なとき）。 代数的元では「多項式で書ける元 $K[\alpha]$ 」がすでに体になる（極大イデアルで割るから）。超越的なら $K[\alpha]\ne K(\alpha)$ （次章）。
共役＝同じ最小多項式をもつ根。 $\sqrt2,-\sqrt2$ は共役。共役どうしの入れ替えが体の自己同型を生む。

この章のまとめ

$\alpha$ が代数的なら、それを根にもつ最小次数モニック多項式＝最小多項式 $m_\alpha$ が一意存在し既約（ $K[x]$ が PID ゆえ）。
$K(\alpha)\cong K[x]/(m_\alpha)$ は体（ $m_\alpha$ 既約 ⇒ $(m_\alpha)$ 極大）、 $[K(\alpha):K]=\deg m_\alpha$ 、基底 $\{1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}\}$ 。体論と環論が合流。
同じ最小多項式をもつ共役な元 $\alpha,\beta$ は $K$ を固定する同型 $K(\alpha)\cong K(\beta)$ （ $\alpha\mapsto\beta$ ）を与える——ガロア群の元の源。

次章は、代数的な元だけからなる拡大——代数拡大と、その対極の超越拡大を扱います。

第2章 単拡大と最小多項式

「2\sqrt22​ を付け加える」を正確に言う