第10章有限体

「要素が有限個の体」を、完全に分類する

体というと $\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ のような無限のものを思い浮かべますが、要素が有限個の体もあります—— $\mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z$ （ $p$ 素数）が最小の例。では、有限体はどれだけあるのか？答えは驚くほど整然としています：位数（要素数）は必ず素数べき $p^n$ で、各 $p^n$ に対して有限体はちょうど一つ（同型を除いて）。

有限体はガロア理論が最も美しく働く舞台です。 $\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p$ は必ずガロアで、そのガロア群は巡回群—— フロベニウス自己同型 $x\mapsto x^p$ が生成します。だから基本定理の対応で、部分体が「 $n$ の約数」と一対一に並ぶ（巡回群の部分群が約数と対応、群論第2章）。符号理論・暗号・組合せ論で不可欠な有限体を、この章で完全に理解します。

有限体の位数は素数べき $p^n$ 。各 $p^n$ にちょうど一つ存在。 $\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p$ は巡回ガロア（フロベニウスが生成）。

位数は素数べき

命題有限体の位数

有限体 $F$ の標数は素数 $p$ で、 $|F|=p^n$ （ $n=[F:\mathbb F_p]$ ）。

証明

有限体の標数は $0$ でありえない（ $1$ の整数倍が有限個ゆえ）ので素数 $p$ （環論第1章：整域の標数は素数）。 $F$ は素体 $\mathbb F_p$ を含み、 $F$ を $\mathbb F_p$ 上のベクトル空間とみると次元 $n=[F:\mathbb F_p]$ が有限で、 $|F|=p^n$ 。∎

存在と一意性

定理有限体の存在と一意性

各素数べき $q=p^n$ に対し、位数 $q$ の体が同型を除いてちょうど一つ存在する（ガロア体 $\mathbb F_q$ ）。それは $x^q-x\in\mathbb F_p[x]$ の $\mathbb F_p$ 上の分解体である。

証明

存在： $f=x^q-x$ の $\mathbb F_p$ 上分解体 $L$ をとる。 $f'=qx^{q-1}-1=-1$ （標数 $p$ 、 $q=p^n$ ゆえ $qx^{q-1}=0$ ）なので $\gcd(f,f')=1$ 、 $f$ は分離的で相異なる $q$ 個の根をもつ。根の集合 $S=\{a\in L:a^q=a\}$ は体をなす（フロベニウスの $q$ 乗写像 $a\mapsto a^q$ が体準同型で、その固定点集合）。 $|S|=q$ で $S$ が $f$ を分解するので $L=S$ 、 $|L|=q$ 。 一意性：位数 $q$ の体 $F$ では、乗法群 $F^\times$ （位数 $q-1$ ）の各元が $a^{q-1}=1$ （ラグランジュ）ゆえ全元が $a^q=a$ 、つまり $F$ は $x^q-x$ の根全体＝分解体。分解体の一意性より位数 $q$ の体は一意。∎

「位数 $q$ の体＝ $x^q-x$ の分解体」という一言で、存在も一意性も出る。すべての元が $a^q=a$ を満たすというのが有限体 $\mathbb F_q$ の本質です（フェルマーの小定理 $a^p=a$ の一般化）。

乗法群は巡回

有限体の乗法構造は、可能な限り単純です。

定理乗法群の巡回性

有限体の乗法群 $\mathbb F_q^\times$ （位数 $q-1$ ）は巡回群。その生成元を原始元という。

証明

有限アーベル群 $\mathbb F_q^\times$ の指数（全元の位数の最小公倍数）を $m$ とすると、全元が $x^m=1$ を満たす。だが多項式 $x^m-1$ は体で高々 $m$ 個の根しかもてないので $q-1\le m$ 。一方 $m\mid q-1$ （ラグランジュ）ゆえ $m=q-1$ 、すなわち位数 $q-1$ の元が存在し $\mathbb F_q^\times$ は巡回。∎

証明の急所は「体では $x^m-1$ の根が高々 $m$ 個」。これが「位数 $q-1$ の元がある」を強制します。乗法群が巡回だから、原始元定理より $\mathbb F_{p^n}=\mathbb F_p(\gamma)$ （単拡大）で、 $\mathbb F_{p^n}$ は既約多項式 $\mathbb F_p[x]$ の根で作れます。

フロベニウスと巡回ガロア群

有限体のガロア群を決定します。主役はフロベニウス写像です。

定理フロベニウス自己同型とガロア群

写像 $\operatorname{Frob}:\mathbb F_{p^n}\to\mathbb F_{p^n},\ a\mapsto a^p$ は $\mathbb F_p$ を固定する体自己同型（フロベニウス自己同型）。 $\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p$ はガロアで $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)=\langle\operatorname{Frob}\rangle\cong\mathbb Z_n\ (\text{位数}\ n\ \text{の巡回群}).$

証明

$\operatorname{Frob}$ は準同型： $(a+b)^p=a^p+b^p$ （標数 $p$ で二項係数 $\binom pk$ （ $0<k<p$ ）が $p$ で割れる）、 $(ab)^p=a^pb^p$ 。 $\mathbb F_p$ の元は $a^p=a$ （フェルマー）ゆえ固定。単射（体準同型）で有限集合上ゆえ全単射＝自己同型。位数： $\operatorname{Frob}^k=\mathrm{id}\iff a^{p^k}=a\ (\forall a)\iff$ 全元が $x^{p^k}-x$ の根 $\iff p^n\mid$ …正確には $n\mid k$ 。ゆえ $\operatorname{Frob}$ の位数は $n$ 。 $\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p$ は分離的多項式 $x^{p^n}-x$ の分解体でガロア、 $[\mathbb F_{p^n}:\mathbb F_p]=n$ で $|\langle\operatorname{Frob}\rangle|=n$ ゆえ $\operatorname{Gal}=\langle\operatorname{Frob}\rangle\cong\mathbb Z_n$ 。∎

有限体の拡大のガロア群は、いつも巡回群（フロベニウスが生成）。これは非常に扱いやすく、基本定理の対応が巡回群の部分群 ↔ 約数にそのまま乗ります。

系部分体の対応

$\mathbb F_{p^n}$ の部分体は、 $n$ の各約数 $d$ に対し $\mathbb F_{p^d}$ がちょうど一つずつ、それで全部。 $\mathbb F_{p^d}\subseteq\mathbb F_{p^m}\iff d\mid m$ 。

証明

基本定理より、部分体 $\mathbb F_{p^n}$ の中間体は巡回群 $\mathbb Z_n$ の部分群と対応。 $\mathbb Z_n$ の部分群は $n$ の各約数 $d$ に位数 $d$ のものが一つずつ（群論第2章）。位数 $d$ の部分群 $\leftrightarrow$ 次数 $n/d$ の固定体 $=\mathbb F_{p^d}$ 。∎

「 $\mathbb F_{16}$ の部分体は $\mathbb F_2,\mathbb F_4,\mathbb F_{16}$ （ $4=2^2$ の約数 $1,2,4$ ）」——群論の約数の話が、そのまま部分体の構造になる。ガロア対応の威力を最も素直に見られる例です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

$\mathbb F_{p^n}\ne\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ 。 位数 $p^n$ の体は $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ （ $n\ge2$ で零因子をもち体でない）ではない。 $\mathbb F_{p^n}$ は $x^{p^n}-x$ の分解体。 $\mathbb F_p[x]/(既約 n 次)$ でも作れる。
加法群と乗法群は別。 $(\mathbb F_{p^n},+)\cong(\mathbb Z_p)^n$ （標数 $p$ ）、 $(\mathbb F_{p^n}^\times,\cdot)\cong\mathbb Z_{p^n-1}$ （巡回）。
フロベニウスは $a\mapsto a^p$ （ $p$ 乗、 $p^n$ 乗でない）。 位数 $n$ で $\operatorname{Frob}^n=\mathrm{id}$ 。 $\mathbb F_p$ を固定。
部分体は約数と対応。 $\mathbb F_{p^d}\subseteq\mathbb F_{p^n}\iff d\mid n$ 。巡回ガロア群の部分群構造の反映。

この章のまとめ

有限体の位数は素数べき $p^n$ 、各 $p^n$ にちょうど一つ $\mathbb F_{p^n}$ （ $=x^{p^n}-x$ の分解体、全元が $a^q=a$ ）。
乗法群 $\mathbb F_q^\times$ は巡回（位数 $q-1$ ）。 $\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p$ はガロアで、ガロア群はフロベニウス $a\mapsto a^p$ が生成する巡回群 $\mathbb Z_n$ 。
部分体は $n$ の約数と一対一（ $\mathbb F_{p^d}$ 、 $d\mid n$ ）。巡回ガロア群の部分群＝約数の対応（基本定理）の最も明快な例。

次章は、 $1$ のべき根が生成する体——円分体と、正多角形の作図可能性を扱います。

第10章 有限体