⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第3章 サードの定理

「正則値なんて、本当にあるのか」への答え

前章の正則値定理は「正則値の逆像は多様体」と言いました。でも、そもそも正則値は存在するのでしょうか？ もし臨界値ばかりで正則値が滅多に無いなら、正則値定理は絵に描いた餅です。

サードの定理が、この不安を完全に解消します——臨界値の集合は測度ゼロ。つまり「ほとんどすべての値が正則値」。 臨界値（dfdf がつぶれる値）は、値域の中でほんの“薄い”集合しか占めない。だから正則値は稠密にあり、いつでも 一つ選べる。f−1(c)f^{-1}(c) を多様体にしたければ、cc をわずかにずらして正則値にすればよいのです。この「ほとんどの値は 良い」という事実は、微分位相幾何学（横断性・写像度・モース理論）の全体を支える基盤であり、 測度論の測度ゼロが幾何に効く美しい例です。証明はやや技巧的ですが、主張の意味と使い方を しっかり掴みます。

サードの定理：なめらかな写像の臨界値の集合は測度ゼロ。ゆえに正則値は（ほとんど至る所）存在し、稠密。

臨界点と臨界値

定義 臨界点・臨界値

f:Mm→Nnf:M^m\to N^n の点 pp が臨界点とは、dfpdf_p が全射でない（階数 <n<n）こと。臨界点の像を臨界値という。 臨界値でない値が正則値（前章）。

m<nm<n（低次元から高次元）なら dfpdf_p は決して全射になれず、すべての点が臨界点——だが像 f(M)f(M) 全体が測度ゼロ （低次元の像は薄い）。m≥nm\ge n なら、臨界点はヤコビ行列の階数が落ちる点（11 変数なら f′=0f'=0 の点）。いずれの場合も、 臨界値は薄いというのがサードの主張です。

サードの定理

定理 サードの定理

f:M→Nf:M\to N を C∞C^\infty（十分に CkC^k）写像とすると、ff の臨界値の集合は NN で測度ゼロ（ルベーグ測度 00）。 したがって、正則値の集合は NN で稠密（ベールのカテゴリー的にも大きい）。

証明

（要点。）局所的に f:U⊆Rm→Rnf:U\subseteq\mathbb R^m\to\mathbb R^n で考える。臨界点集合を、微分の階数の落ち方で層 Σ1⊇Σ2⊇⋯\Sigma_1\supseteq\Sigma_2\supseteq\cdots に 分け、各層の像が測度ゼロであることを、テイラー展開（微積分）で「臨界点の近くで ff が薄い集合に写る」ことを 評価して示す。小さい立方体に分割し、各立方体の像の体積が細分で急速に小さくなることを使う（CkC^k の kk が m,nm,n に応じて十分大きい必要がある）。可算個の局所評価を合わせる（測度ゼロは可算和で保たれる、測度論）。∎

証明の心は「臨界点の近くでは、ff の像が薄くつぶれる（微分がつぶれるから）」を、テイラー展開と細分で定量化する こと。11 変数なら「f′=0f'=0 の点の像は、ff がそこで平らなので値が集中しない」という直感です。結論の使い方は明快です。

系 正則値はいつでもとれる

測度ゼロの集合の補集合は稠密（空でない開集合を含む）。ゆえ、任意の ff に対し正則値が存在し、しかも与えられた 値の近くにいくらでも正則値がある。「f−1(c)f^{-1}(c) を多様体にしたい」なら、cc をわずかに動かして正則値にできる。

応用：横断性

サードの定理の最も重要な応用が、横断性——「なめらかな対象は、一般の位置では“素直に”交わる」という原理です。

定義 横断性

部分多様体 A,B⊆MA,B\subseteq M が横断的（A⋔BA\pitchfork B）に交わるとは、交点 pp で接空間が TpMT_pM を張ること TpA+TpB=TpMT_pA+T_pB=T_pM。横断的なら、交わり A∩BA\cap B はなめらかな部分多様体（次元 dim⁡A+dim⁡B−dim⁡M\dim A+\dim B-\dim M）。

定理 横断性定理（トム）

サードの定理より、写像 f:A→Mf:A\to M は、BB に横断的になるよういくらでも小さく摂動できる（横断的な写像が稠密）。 「一般の位置では横断的」——退化した交わり（接して交わる等）は、わずかにずらせば解消できる。

「22 つの曲線が接して交わる（退化）状態は不安定で、ちょっと動かせば普通に交わる（横断的）」——サードの 「臨界値は薄い」が、この安定性を保証します。横断性は微分位相幾何学の中心概念で、次の写像度や 交差理論を支えます。

応用：写像度

注意 写像度への道

コンパクト多様体間の写像 f:Mn→Nnf:M^n\to N^n（NN 連結）について、正則値 cc の逆像 f−1(c)f^{-1}(c) は有限個の点（00 次元多様体、 cc 正則ゆえサードで存在）。各点での dfdf の向き（符号）を数えた deg⁡f=∑p∈f−1(c)sgn⁡(det⁡dfp)\deg f=\sum_{p\in f^{-1}(c)}\operatorname{sgn}(\det df_p) が 写像度——これは正則値 cc の選び方によらない位相不変量（微分位相幾何）。 複素解析の巻き数・位相幾何のブラウワー度の、多様体版。サードがなければ「正則値 cc を とれる」が保証されず、写像度が定義できない。

「正則値の逆像は有限個の点で、その符号つきの個数が写像度」——サードの定理が、この定義を可能にします。 写像度は代数学の基本定理・ブラウワーの不動点定理・ベクトル場の指数 （ポアンカレ–ホップ）を統一的に扱う、微分位相の中心的な不変量です。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • サードは「臨界値」が測度ゼロ（臨界点ではない）。 臨界点は大きい集合でありうる（定値写像なら全点が臨界点）。薄いのは値（像）の方。
  • m<nm<n なら全点が臨界点だが、像 f(M)f(M) 全体が測度ゼロ。 低次元多様体の像は高次元で薄い（曲線は平面で測度ゼロ）。
  • 正則値は稠密（ほとんど至る所）。 だから f−1(c)f^{-1}(c) を多様体にしたければ cc を動かせばよい。正則値定理を実際に使える定理にする。
  • 横断性＝一般の位置での素直な交わり。 退化した交わりは摂動で解消。サードが安定性を保証。

この章のまとめ

  • サードの定理：なめらかな写像の臨界値の集合は測度ゼロ（ルベーグ測度）。証明はテイラー展開＋細分で「臨界点の像は薄い」を定量化。
  • 帰結：正則値は稠密（ほとんど至る所存在）。前章の正則値定理が実際に使える——cc を動かせば正則値にできる。
  • 応用：横断性（一般の位置では素直に交わる、退化は摂動で解消）と写像度（正則値の逆像の符号つき個数、位相不変量）。微分位相幾何の基盤。

可微分多様体の基礎が固まりました。次章から接ベクトルとテンソル——曲がった空間で「方向」と「微分」を定義し直します。