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第10章 Homとテンソルの随伴

テンソルとHomは対になっている

前二章で、テンソル積（右完全）とHom（左完全）が対照的にふるまうのを見ました。この対照は偶然ではありません。 テンソルとHomは随伴という深い関係で結ばれています。圏論の随伴を、加群論で最も 基本的かつ有用な形で見る章です。

随伴の中身は、プログラミングでいうカリー化——「二つの引数をとる関数」を「一つの引数をとって、 関数を返す関数」に変換する操作の代数版です。Hom⁡(M⊗N,P)≅Hom⁡(M,Hom⁡(N,P))\operatorname{Hom}(M\otimes N,P)\cong\operatorname{Hom}(M,\operatorname{Hom}(N,P))。 この一つの同型が、完全性の左右も、加群の特殊類（次章）も、統一的に説明します。

テンソル ⊣ Hom：Hom⁡(M⊗N,P)≅Hom⁡(M,Hom⁡(N,P))\operatorname{Hom}(M\otimes N,P)\cong\operatorname{Hom}(M,\operatorname{Hom}(N,P))。カリー化の代数版。完全性の左右を決める。

テンソル–Hom随伴

定理 テンソル–Hom随伴

RR 加群 M,N,PM,N,P に対し、自然な同型

Hom⁡R(M⊗RN, P) ≅ Hom⁡R(M, Hom⁡R(N,P))\operatorname{Hom}_R(M\otimes_R N,\ P)\ \cong\ \operatorname{Hom}_R\big(M,\ \operatorname{Hom}_R(N,P)\big)

が成り立つ。すなわち −⊗RN-\otimes_R N は Hom⁡R(N,−)\operatorname{Hom}_R(N,-) の左随伴（−⊗N⊣Hom⁡(N,−)-\otimes N\dashv\operatorname{Hom}(N,-)、圏論）。

証明

左辺の φ:M⊗N→P\varphi:M\otimes N\to P に、m↦(n↦φ(m⊗n))m\mapsto(n\mapsto\varphi(m\otimes n)) を対応させると右辺の元。 逆に右辺の ψ:M→Hom⁡(N,P)\psi:M\to\operatorname{Hom}(N,P) から、双線形写像 (m,n)↦ψ(m)(n)(m,n)\mapsto\psi(m)(n) が定まり、テンソルの普遍性 （第8章）で M⊗N→PM\otimes N\to P が一意に対応。両者は互いに逆で自然。∎

証明の心臓は「双線形写像 M×N→PM\times N\to P」を二通りに読むこと——「M⊗NM\otimes N からの線形写像」（テンソルの 普遍性）とも、「MM から Hom⁡(N,P)\operatorname{Hom}(N,P) への線形写像」（引数を一つずつ食べる）とも見える。両者が一致 するのがカリー化。この同型が自然（圏論）であることが、随伴 −⊗N⊣Hom⁡(N,−)-\otimes N\dashv\operatorname{Hom}(N,-) の 定義そのものです。

随伴が完全性の左右を決める

前章で「テンソルは右完全、Homは左完全」と天下りに述べましたが、随伴がその理由を与えます。圏論の 保存定理——左随伴は余極限を保存、右随伴は極限を保存——の直接の帰結です。

定理 随伴から完全性が従う

−⊗RN-\otimes_R N は左随伴だから余極限（直和・余核・全射）を保存——ゆえに右完全。Hom⁡R(N,−)\operatorname{Hom}_R(N,-) は 右随伴だから極限（積・核・単射）を保存——ゆえに左完全。完全性の左右は、随伴の左右で決まる。

これで前章がすっきり整理されます。「なぜテンソルは右完全でHomは左完全か」——それは「テンソルが左随伴、 Homが右随伴だから」。圏論で証明した一般定理（右随伴は極限保存・左随伴は余極限保存）を、 加群に当てはめただけ。抽象的な随伴が、具体的な完全性を予言します。個別に確かめる代わりに、随伴の左右を 見れば完全性が分かる——これが圏論的視点の御利益です。

注意 随伴のもう一つの顔——Hom-Hom

テンソル–Hom随伴のほかに、Hom⁡\operatorname{Hom} どうしの結合則 Hom⁡(M,Hom⁡(N,P))≅Hom⁡(N,Hom⁡(M,P))\operatorname{Hom}(M,\operatorname{Hom}(N,P))\cong\operatorname{Hom}(N,\operatorname{Hom}(M,P)) もある。これらの同型は、 加群の圏が閉モノイダル圏（テンソルという「掛け算」と、その随伴 Hom という「内部Hom」をもつ）である ことの現れ。圏論の言葉で言えば、加群の圏 R-ModR\text{-Mod} は最も基本的な閉モノイダル アーベル圏。テンソル・Hom・完全系列という加群論の道具立ては、この構造の各側面。

随伴と加群の特殊類——次章への橋

随伴の視点は、次章の加群の特殊類（射影・入射・平坦）を統一的に導きます。「ある関手を完全にする加群」として 定義できるのです。

注意 完全性を回復する加群（第11章の予告）

関手は一般に完全性を壊すが、相手の加群が特別なら壊れない——

  • −⊗RN-\otimes_R N が完全（左端の単射も保つ）になる NN＝平坦加群。
  • Hom⁡R(P,−)\operatorname{Hom}_R(P,-) が完全（右端の全射も保つ）になる PP＝射影加群。
  • Hom⁡R(−,I)\operatorname{Hom}_R(-,I) が完全になる II＝入射加群。 テンソル–Hom随伴のもとで、これらは互いに双対的に関係する（射影と入射は矢印を逆にした双対、平坦は射影に近い）。 「関手の完全性を回復する加群」という一つの発想が、三つの特殊類を統一する。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • テンソル ⊣ Hom（テンソルが左）。 Hom⁡(M⊗N,P)≅Hom⁡(M,Hom⁡(N,P))\operatorname{Hom}(M\otimes N,P)\cong\operatorname{Hom}(M,\operatorname{Hom}(N,P))。 カリー化。向き（どちらが左随伴か）を取り違えない。
  • 完全性の左右は随伴の左右から。 左随伴（テンソル）は余極限保存＝右完全、右随伴（Hom）は極限保存＝左完全。 圏論の一般定理。
  • 随伴は「自然な」同型。 単なる全単射でなく、M,N,PM,N,P について自然。自然性が随伴の定義。
  • 特殊類＝関手を完全にする加群。 平坦（テンソルを完全に）・射影（Hom(P,-)を完全に）・入射（Hom(-,I)を完全に）。 次章の主題。

この章のまとめ

  • テンソル–Hom随伴 Hom⁡(M⊗N,P)≅Hom⁡(M,Hom⁡(N,P))\operatorname{Hom}(M\otimes N,P)\cong\operatorname{Hom}(M,\operatorname{Hom}(N,P))＝カリー化の代数版。−⊗N⊣Hom⁡(N,−)-\otimes N\dashv\operatorname{Hom}(N,-)（テンソルが左随伴）。
  • 完全性の左右は随伴の左右から：左随伴テンソルは余極限保存＝右完全、右随伴Homは極限保存＝左完全（圏論の保存定理）。個別確認が不要になる。
  • 加群の圏は閉モノイダルアーベル圏（テンソルと内部Hom）。随伴の視点が加群論の道具立てを統一。
  • Part III（テンソルと完全性）はここまで。次章では、「関手の完全性を回復する加群」——射影・入射・平坦加群を、随伴の視点で導入します。

次章では、射影加群・入射加群・平坦加群を、それぞれ Hom・テンソルを完全にする加群として定義し、特徴づけます。