第11章射影・入射・平坦加群

「良い加群」の三つの型

前章の随伴の視点で、加群の三つの重要な特殊類を導入します。関手（Hom・テンソル）は一般に完全性を壊しますが、相手の加群が特別なら壊れない——射影加群（ $\operatorname{Hom}(P,-)$ を完全に）、入射加群（ $\operatorname{Hom}(-,I)$ を完全に）、平坦加群（ $-\otimes F$ を完全に）です。どれも自由加群のさまざまな一般化で、次章の導来関手（ $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ ）を計算する道具になります。

三つは、テンソル–Hom随伴（第10章）のもとで互いに関係します。射影と入射は矢印を逆にした双対、平坦は射影の親戚。「完全性を回復する加群」という一つの発想の、三つの現れです。

射影・入射・平坦＝関手の完全性を回復する加群。自由加群の一般化で、導来関手の計算の土台。

射影加群

自由加群は、写像が生成元の行き先で決まる自由さをもちました（第3章）。その自由さの一部 ——「全射を通して持ち上げられる」——だけを取り出したのが射影加群です。

定義射影加群（同値な特徴づけ）

$R$ 加群 $P$ について次は同値。これをみたす $P$ を射影加群という。

$\operatorname{Hom}_R(P,-)$ が完全（全射 $B\twoheadrightarrow C$ に対し $\operatorname{Hom}(P,B)\to\operatorname{Hom}(P,C)$ も全射）。
全射 $B\twoheadrightarrow C$ と写像 $P\to C$ に対し、持ち上げ $P\to B$ が存在する。
$P$ を含む短完全系列 $0\to A\to B\to P\to0$ が必ず分裂する。
$P$ はある自由加群の直和因子（ $P\oplus Q\cong$ 自由）。

条件 2「持ち上げ」が直感的です—— $C$ への写像を、全射 $B\to C$ を通して $B$ へ持ち上げられる。自由加群は生成元を自由に送れるので持ち上げ可能＝射影的。条件 4 が構造を明かします——射影加群＝自由加群の直和因子。だから射影加群は「ほぼ自由」。PID上では射影＝自由ですが、一般の環では自由でない射影加群が存在します。

例射影だが自由でない例

$R=\mathbb Z/6\cong\mathbb Z/2\times\mathbb Z/3$ （中国剰余定理）で、 $\mathbb Z/2$ は $R$ 加群として射影的（ $R\cong\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/3$ の直和因子）だが自由でない（自由なら位数が $6$ の倍数）。「射影＝ほぼ自由だが自由とは限らない」の典型。PID・局所環では射影＝自由（自由でない射影は現れない）。

入射加群

射影加群の矢印をすべて逆にすると入射加群になります（圏論の双対）。「単射を通して拡張できる」加群です。

定義入射加群

$R$ 加群 $I$ が入射加群であるとは、 $\operatorname{Hom}_R(-,I)$ が完全であること。同値に、単射 $A\hookrightarrow B$ と写像 $A\to I$ に対し、拡張 $B\to I$ が存在する（射影の持ち上げの双対）。

定理入射加群の判定（ベーアの判定法）

$R$ 加群 $I$ が入射的 $\iff$ 任意のイデアル $J\subseteq R$ と写像 $J\to I$ が $R\to I$ に拡張できる（イデアルだけ調べればよい）。 $\mathbb Z$ 加群では、可除群（ $\mathbb Q,\ \mathbb Q/\mathbb Z$ など、任意の $n$ で割れる群）がちょうど入射的。

入射加群は射影の双対ですが、姿はかなり違います。 $\mathbb Z$ 加群では、入射的＝可除（ $\mathbb Q$ や $\mathbb Q/\mathbb Z$ ——どんな $n$ で割っても元がある群）。射影（自由の直和因子）が「下から生成」の感覚なのに対し、入射（可除）は「上へ拡張・割り切れる」感覚。任意の加群は入射加群に埋め込める（入射的包絡）——この双対性が、第12章の $\mathrm{Ext}$ を入射分解でも計算できることの根拠です。

平坦加群

テンソルを完全にする加群が平坦加群。テンソルは右完全でしたが、左端の単射も保つ（完全になる）相手が平坦加群です。

定義平坦加群

$R$ 加群 $F$ が平坦であるとは、 $-\otimes_R F$ が完全（単射 $A\hookrightarrow B$ に対し $A\otimes F\to B\otimes F$ も単射）であること。すなわちテンソルしても完全性が壊れない加群。

定理包含関係

\text{自由}\ \Rightarrow\ \text{射影}\ \Rightarrow\ \text{平坦}.

（自由は射影の特別な場合、射影は平坦。）逆は一般に成り立たない。 $\mathbb Q$ は $\mathbb Z$ 加群として平坦だが射影でない（自由でない）。

平坦加群は「テンソルしても情報を壊さない」加群です。第8章で $-\otimes\mathbb Z/2$ が単射を壊した（ $\times2$ がゼロに）のは $\mathbb Z/2$ が平坦でないから。 $\mathbb Q$ や自由加群は平坦——テンソルで完全性を保ちます。平坦性は代数幾何で決定的です（平坦射＝ファイバーが連続的に変化する“良い”族）。包含自由 ⊂ 射影 ⊂ 平坦が、加群の“良さ”の階層をなします。

注意なぜ三つの特殊類が要るのか——導来関手の材料

射影・入射・平坦は、次章の導来関手（ $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ ）を計算するための「良い分解」の材料になる。一般の加群 $M$ を射影加群で分解（射影分解 $\cdots\to P_1\to P_0\to M\to0$ ）し、関手を当ててホモロジーをとると導来関手が出る（圏論・ホモロジー代数）。射影・入射・平坦は「関手が完全にふるまう良い加群」なので、分解の各段で関手の破れを制御できる。だから三つの特殊類は、完全性の破れ（ $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ ）を測る道具立ての中心。

つまずきポイント

注意よくある誤解

射影＝自由の直和因子（ほぼ自由）。 自由とは限らない（ $\mathbb Z/6$ 上の $\mathbb Z/2$ ）。PID・局所環では射影＝自由。
入射は射影の双対（可除）。 矢印を逆に。 $\mathbb Z$ 加群では入射＝可除（ $\mathbb Q,\mathbb Q/\mathbb Z$ ）。射影とは見た目が違う。
平坦＝テンソルを完全にする。 自由⇒射影⇒平坦だが逆は偽（ $\mathbb Q$ は平坦だが射影でない）。代数幾何で重要。
三つとも「関手を完全にする加群」。 射影（Hom(P,-)）・入射（Hom(-,I)）・平坦（-⊗F）。導来関手の材料。

この章のまとめ

射影加群＝ $\operatorname{Hom}(P,-)$ を完全に＝全射を通して持ち上げ可能＝自由加群の直和因子（ほぼ自由、PIDでは自由）。
入射加群＝ $\operatorname{Hom}(-,I)$ を完全に＝単射を通して拡張可能（射影の双対）。 $\mathbb Z$ 加群では可除群（ $\mathbb Q,\mathbb Q/\mathbb Z$ 、ベーアの判定）。
平坦加群＝ $-\otimes F$ を完全に＝テンソルで情報を壊さない。包含 自由 ⊂ 射影 ⊂ 平坦（逆は偽、 $\mathbb Q$ は平坦だが射影でない）。代数幾何で重要。
三つは導来関手の「良い分解」の材料。最終章では、これらを使って完全性の破れを測る $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ を導入し、加群論を総括します。

次章では、射影分解による導来関手 $\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}$ を導入し、ホモロジー代数への橋を架けて分野を総括します。

第11章 射影・入射・平坦加群