⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第9章 完全系列と完全性

加群を「つなぐ」言葉

加群を組み立てる状況を精密に記述するのが完全系列です。「BB が部分加群 AA をもち、商が CC」という状況を 0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0 と書く。この言葉で、加群の拡大・分解・関手の振る舞いが統一的に語れます。 位相幾何やホモロジー代数で出会った完全系列を、加群論の 文脈で整えます。

核心の問いは「関手（Hom・テンソル）は完全系列をどこまで保つか」。前章で予告したとおり、テンソルは完全性を 壊す。その破れ具合が、関手の“質”を測り、後の Tor⋅Ext\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}（第12章）を生みます。

完全系列＝各点で「像＝核」。短完全系列 0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0 は「部分加群と商」。関手がこれを保つ度合いが完全性。

完全系列と分裂

定義 完全系列・短完全系列

加群準同型の列 A→fB→gCA\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C が BB で完全とは im⁡f=ker⁡g\operatorname{im}f=\ker g。

0→A→fB→gC→00\to A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\to0

が短完全系列とは、ff 単射・gg 全射・im⁡f=ker⁡g\operatorname{im}f=\ker g——すなわち A≅f(A)A\cong f(A) が BB の 部分加群で C≅B/AC\cong B/A。

定義 分裂

短完全系列 0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0 が分裂するとは、B≅A⊕CB\cong A\oplus C（CC から BB への切断、または BB から AA への引き戻しが存在）となること。

分裂は「BB がきれいに A⊕CA\oplus C に分かれる」こと。分裂しない完全系列は「AA と CC が絡み合って BB を作る」 非自明な拡大です。たとえば 0→Z→×2Z→Z/2→00\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\to0 は分裂しない （Z≇Z⊕Z/2\mathbb Z\not\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2、右はねじれをもつ）。「A,CA,C から BB がどう組み上がるか」の分類が Ext\mathrm{Ext}（第12章）です。

定理 分裂の判定

短完全系列 0→A→B→gC→00\to A\to B\xrightarrow{g}C\to0 について、次は同値：B≅A⊕CB\cong A\oplus C（分裂）  ⟺  \iff gg に切断 s:C→Bs:C\to B（g∘s=idCg\circ s=\mathrm{id}_C）がある   ⟺  \iff ff に引き戻し r:B→Ar:B\to A（r∘f=idAr\circ f=\mathrm{id}_A）がある。 とくに CC が**自由（射影的、第11章）**なら常に分裂する。

Hom とテンソルの完全性

関手を短完全系列に施すと、完全性が片側で壊れます。どちら側を保つかが、関手の性格（左完全・右完全）を 決めます。圏論・ホモロジー代数の完全性の階層の、加群での 具体形です。

定理 Hom は左完全、テンソルは右完全

短完全系列 0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0 に対し、

  • Hom⁡R(N,−)\operatorname{Hom}_R(N,-)：0→Hom⁡(N,A)→Hom⁡(N,B)→Hom⁡(N,C)0\to\operatorname{Hom}(N,A)\to\operatorname{Hom}(N,B)\to\operatorname{Hom}(N,C) は完全（左完全）。右端の全射性は一般に崩れる。
  • Hom⁡R(−,N)\operatorname{Hom}_R(-,N)（反変）：0→Hom⁡(C,N)→Hom⁡(B,N)→Hom⁡(A,N)0\to\operatorname{Hom}(C,N)\to\operatorname{Hom}(B,N)\to\operatorname{Hom}(A,N) が完全（左完全）。
  • −⊗RN-\otimes_R N：A⊗N→B⊗N→C⊗N→0A\otimes N\to B\otimes N\to C\otimes N\to0 は完全（右完全）。左端の単射性は一般に崩れる。

Hom が左完全・テンソルが右完全なのは、圏論の「右随伴は極限を保つ（左完全）、左随伴は 余極限を保つ（右完全）」の帰結です（テンソル ⊣ Hom、第8章）。どちらも完全ではない ——保たれない端があります。その破れが具体的に見えるのが次の例です。

例 テンソルが単射を壊す

分裂しない完全系列 0→Z→×2Z→Z/2→00\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\to0 に −⊗Z/2-\otimes\mathbb Z/2 を施すと、

Z/2→×2=0Z/2→Z/2→0.\mathbb Z/2\xrightarrow{\times2=0}\mathbb Z/2\to\mathbb Z/2\to0.

右端は完全（右完全）だが、左端の ×2\times2 が Z/2\mathbb Z/2 上ではゼロ写像＝単射でない——完全性が壊れた。 この破れの大きさ ker⁡(×2)=Z/2\ker(\times2)=\mathbb Z/2 が Tor1(Z/2,Z/2)=Z/2\mathrm{Tor}_1(\mathbb Z/2,\mathbb Z/2)=\mathbb Z/2（第12章）。 関手が壊した完全性の“傷”が、新しい不変量を生む。

蛇の補題と五項補題

完全系列を操る二つの基本技。蛇の補題は核・余核をつなぐ長い完全系列を作り（第12章の長完全系列の原型）、 五項補題は「両端が同型なら真ん中も同型」を保証します。図式追跡（ダイアグラム・チェイシング）の代表です。

定理 蛇の補題

行が完全な可換図式（縦の射 a,b,ca,b,c）

0→A→B→C→0↓a↓b↓c0→A′→B′→C′→0\begin{array}{ccccccccc} 0&\to&A&\to&B&\to&C&\to&0\\ &&\downarrow a&&\downarrow b&&\downarrow c&&\\ 0&\to&A'&\to&B'&\to&C'&\to&0 \end{array}

から、核と余核をつなぐ完全系列

0→ker⁡a→ker⁡b→ker⁡c→ δ coker⁡a→coker⁡b→coker⁡c→00\to\ker a\to\ker b\to\ker c\xrightarrow{\ \delta\ }\operatorname{coker}a\to\operatorname{coker}b\to\operatorname{coker}c\to0

が得られる（δ\delta は連結準同型）。

定理 五項補題

行が完全な可換図式で、縦の射のうち両脇の四つ（1,2,4,51,2,4,5 番目）が同型なら、真ん中（33 番目）も同型。

蛇の補題の連結準同型 δ:ker⁡c→coker⁡a\delta:\ker c\to\operatorname{coker}a が“蛇”の胴体——図式を対角にたどって、完全性の破れを 次の段へ繰り越します。証明はすべて「元を追う」（アーベル圏でもフレイド–ミッチェルで 正当化される）。これらは位相幾何のホモロジー長完全系列や、第12章の導来関手の 長完全系列で本質的に使われます。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 完全系列は「像＝核」。 「像⊆核」（合成が 00、複体）では不足。一致して完全。ずれ＝ホモロジー。
  • 分裂 ⟺ B≅A⊕CB\cong A\oplus C。 分裂しない拡大（Z→2Z→Z/2\mathbb Z\xrightarrow{2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2）がある。分類が Ext\mathrm{Ext}。
  • Hom は左完全、テンソルは右完全。 保つ端が違う。随伴の左右（テンソル⊣Hom）と対応。どちらも完全ではない。
  • 完全性の破れが Tor/Ext\mathrm{Tor}/\mathrm{Ext}。 傷は欠陥でなく新しい情報。連結準同型 δ\delta が破れを繰り越す。

この章のまとめ

  • 短完全系列 0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0＝「部分加群と商」。分裂なら B≅A⊕CB\cong A\oplus C（分裂しない拡大もある）。
  • 関手の完全性：Hom⁡(N,−)\operatorname{Hom}(N,-)・Hom⁡(−,N)\operatorname{Hom}(-,N) は左完全、−⊗N-\otimes N は右完全（テンソル⊣Homの左右）。どちらも完全でなく、破れが Tor⋅Ext\mathrm{Tor}\cdot\mathrm{Ext}（テンソルが単射を壊す例）。
  • 蛇の補題（核・余核をつなぐ完全系列、連結準同型 δ\delta）・五項補題（両端同型⇒中央同型）——図式追跡の基本技。
  • 次章では、Hom とテンソルの関係を随伴として精密化し、左完全・右完全の由来を圏論の言葉で捉えます。

次章では、テンソル ⊣ Hom の随伴（カリー化）を確立し、それが完全性の左右をどう決めるかを整理します。