第6章指標の直交関係

指標を「座標」にする

前章で、指標が表現を完全に決めると分かりました。でも「なぜトレースだけで十分か」の核心はまだ見ていません。その答えが、この章の主役——既約指標の直交関係です。既約指標たちは、類関数の空間の中で正規直交系をなす。だから任意の表現の指標を、既約指標という“座標軸”で展開でき、各既約の重複度が内積で読める。

これは関数解析・フーリエ解析の「正規直交基底への展開」の、有限群表現論版です。フーリエ級数が関数を三角関数（正規直交基底）で展開したように、表現の指標を既約指標で展開する。直交関係が、その展開の係数（重複度）を内積で取り出す公式を与えます。

既約指標は類関数の内積で正規直交系。任意の表現の指標を既約指標で展開でき、重複度が内積で読める。

類関数の内積

まず、指標を測る内積を定めます。共役類のサイズで重み付けた、自然な内積です。

定義類関数の内積

$G$ 上の類関数 $\varphi,\psi$ （共役類で一定な関数）に対し

\langle\varphi,\psi\rangle=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\varphi(g)\overline{\psi(g)}=\frac1{|G|}\sum_{C}|C|\,\varphi(C)\overline{\psi(C)}

（右は共役類 $C$ ごとの和、 $|C|$ は類のサイズ）を内積とする。

$\frac1{|G|}\sum_g$ は前章までの群平均（マシュケの平均化と同じ）。指標は類関数なので、この内積は共役類ごとの和で計算できます。この内積のもとで、既約指標が直交する——それが次の定理です。

第一直交関係

定理第一直交関係（行の直交）

$G$ の相異なる既約表現の指標 $\chi_1,\dots,\chi_r$ は、上の内積のもとで正規直交系をなす：

\langle\chi_i,\chi_j\rangle=\delta_{ij}=\begin{cases}1&(i=j)\\0&(i\ne j).\end{cases}

証明

$\langle\chi_V,\chi_W\rangle=\dim\mathrm{Hom}_G(V,W)$ を示せばよい（するとシューア（第3章）で $i=j$ なら $1$ 、 $i\ne j$ なら $0$ ）。任意の線形写像 $T_0:V\to W$ を群平均した $T=\frac1{|G|}\sum_g\rho_W(g)T_0\rho_V(g)^{-1}$ は絡作用素で、この対応は絡作用素の空間 $\mathrm{Hom}_G(V,W)$ への射影を与える。その射影のトレースを計算すると

\frac1{|G|}\sum_g\mathrm{tr}\big(\rho_W(g)\,(\cdot)\,\rho_V(g)^{-1}\big)=\frac1{|G|}\sum_g\chi_W(g)\overline{\chi_V(g)}=\langle\chi_W,\chi_V\rangle

（ $\chi_V(g^{-1})=\overline{\chi_V(g)}$ ）。射影のトレース＝像の次元 $=\dim\mathrm{Hom}_G(V,W)$ 。∎

証明の心臓は、またしても群平均とシューアの補題です。「線形写像を群平均すると絡作用素になり、その空間の次元がちょうど指標の内積」。シューア（絡作用素はゼロか同型・スカラー）から、異なる既約は直交（ $\dim=0$ ）、同じ既約は正規（ $\dim=1$ ）。マシュケの平均化と、シューアの補題という前半の二大道具が、ここで一つの美しい等式に結晶します。

重複度・既約性の判定

直交関係の御利益は絶大です。表現の指標を既約指標で展開すれば、各既約の重複度が内積で計算できる。分解を実際に手で行えるようになります。

定理重複度と既約性の判定

表現 $V\cong\bigoplus_i m_i V_i$ （ $V_i$ 既約）の指標 $\chi_V$ について、

重複度 $m_i=\langle\chi_V,\chi_i\rangle$ （ $V$ に $V_i$ が何個含まれるか）。
ノルム $\langle\chi_V,\chi_V\rangle=\sum_i m_i^2$ 。
既約性の判定： $V$ が既約 $\iff\langle\chi_V,\chi_V\rangle=1$ 。

証明

$\chi_V=\sum_i m_i\chi_i$ （第5章、直和は指標の和）。直交関係より $\langle\chi_V,\chi_j\rangle=\sum_i m_i\langle\chi_i,\chi_j\rangle=m_j$ 。 $\langle\chi_V,\chi_V\rangle=\sum_i m_i^2$ 。既約 $\iff$ ただ一つの $m_i=1$ で他が $0$ $\iff\sum m_i^2=1$ 。∎

これで表現論が完全に計算になりました。表現 $V$ の指標を求め、既約指標との内積を取れば、各既約が何個含まれるか（重複度 $m_i$ ）が分かる。「 $\langle\chi_V,\chi_V\rangle=1$ なら既約」という判定は特に実用的—— 指標のノルムを計算するだけで既約性が分かります。フーリエ級数で「係数＝関数と基底の内積」だったのとまったく同じ構造（関数解析）です。

注意指標は類関数の正規直交“基底”

既約指標は正規直交系だが、実は類関数の空間全体の正規直交基底になる（次章）。類関数の空間の次元は共役類の数、だから既約表現の個数＝共役類の数（第7章）。任意の類関数を既約指標で展開できる——表現論が、共役類の上の“フーリエ解析”になる。可換群なら共役類＝元、既約指標＝ $1$ 次指標で、これはまさに有限アーベル群のフーリエ変換。表現論は非可換版フーリエ解析、という見方ができる。

つまずきポイント

注意よくある誤解

内積は群平均（共役類で重み付け）。 $\frac1{|G|}\sum_g\varphi\overline\psi=\frac1{|G|}\sum_C|C|\varphi(C)\overline{\psi(C)}$ 。類のサイズ $|C|$ を忘れない。
既約指標は正規直交系。 $\langle\chi_i,\chi_j\rangle=\delta_{ij}$ 。証明はシューア＋群平均。フーリエの正規直交基底と同じ役割。
重複度＝内積 $\langle\chi_V,\chi_i\rangle$ 。 表現の分解が内積計算になる。既約性は $\langle\chi_V,\chi_V\rangle=1$ 。
指標は類関数の基底。 だから既約表現の個数＝共役類の数（次章）。表現論＝非可換フーリエ解析。

この章のまとめ

類関数の内積 $\langle\varphi,\psi\rangle=\frac1{|G|}\sum_g\varphi\overline\psi$ （群平均、共役類で重み付け）。
第一直交関係：既約指標は正規直交系 $\langle\chi_i,\chi_j\rangle=\delta_{ij}$ 。証明は $\langle\chi_V,\chi_W\rangle=\dim\mathrm{Hom}_G(V,W)$ ＋シューア＋群平均。
帰結：重複度 $m_i=\langle\chi_V,\chi_i\rangle$ 、既約性 $\iff\langle\chi_V,\chi_V\rangle=1$ 。表現の分解が内積計算に。フーリエ解析の正規直交基底展開と同じ構造。
既約指標が正規直交系だと分かった。次章では、これを表にまとめた指標表を構成し、行・列の直交と既約表現の個数を確定します。

次章では、指標表（既約指標 × 共役類）を構成し、行・列の直交関係、既約表現の個数＝共役類の数を確立します。

第6章 指標の直交関係